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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Lemma von Zorn immer anwendbar?
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Universität/Hochschule Lemma von Zorn immer anwendbar?
LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-26


Hey,

bei einer bzgl der Inklusion partiell geordneten nicht leeren Menge ist das Zornsche Lemma stets anwendbar, oder?

Denn Zu einer total geordneten Menge ist die Vereinigung der Elemente in der Menge enthalten und eine obere Schranke.

Danke und Gruß
Lukas


-----------------
Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne :-)



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-26


2020-05-26 10:41 - LukasNiessen im Themenstart schreibt:
Denn Zu einer total geordneten Menge ist die Vereinigung der Elemente in der Menge enthalten und eine obere Schranke.
Nein.


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⊗ ⊗ ⊗



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-26


Konkretes Gegenbeispiel: Die Menge aller endlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen.



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-26

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Danke für die Antworten.

Zu dem konkreten Gegenbeispiel:
Ich schätze, eine totale ordnete Teilmenge, für die es keine obere Schranke gibt, wäre z.B. folgende: $\{\{n \in \IN;n<a\};a\in \IN\}$
Denn die von mir genannte Vereinigung wäre bereits IN und damit insbesondere nicht endlich.

Richtig?


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-26


Ja.



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-26

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Ein etwas subtileres Beispiel.

Sei G = (V, E) ein einfacher (unendlicher) Graph, d. h. V ist eine unendliche Menge und \(E\subseteq\{\{a,b\}|a,b\in V\}\).

Ein Matching M von G ist eine Teilmenge von E, bei der alle Kanten aus M paarweise disjunkt sind.

Betrachte nun \(\{W\subseteq V|\exists M\subseteq E:M\text{ ist Matching} \wedge\bigcup M=W\}\), also die Menge aller Eckenmengen, die durch eine Massenhochzeit verheiratet werden können.

Wenn V abzählbar ist, gibt es in dieser Menge ein maximales Element, aber nicht jede Kette besitzt eine obere Schranke. Für größere V gibt es nicht unbedingt ein maximales Element.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Vielleicht auch noch ganz interessant in diesem Zusammenhang:
Zu jeder partiellen Ordnung $(X,\leq)$ gibt es genau dann eine isomorphe, durch Inklusion geordnete partielle Ordnung, wenn $\leq$ antisymmetrisch ist.
Die Abbildungsvorschrift $x\in X \mapsto \{y\in X\mid y\leq x\} $ definiert nämlich einen solchen Isomorphismus.

Wenn also die Behauptung aus dem Themenstart wahr gewesen wäre, dann hätte jede antisymmetrische partielle Ordnung ein maximales Element.
\(\endgroup\)


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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-26


Hallo nuramon,

nur zum Verständnis: eine partielle Ordnung ist bei dir nicht automatisch antisymmetrisch?

Ich kenne eine Relation, die reflexiv und transitiv und nicht antisymmetrisch ist, nicht als (partielle) Ordnung(srelation), sondern als Quasiordnung.

mfg
thureduehrsen



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-26


@thureduehrsen: Du hast recht, da habe ich mit den Begriffen nicht genau aufgepasst. Partielle Ordnungen sind immer antisymmetrisch. Danke für den Hinweis.



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LukasNiessen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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