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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verwendung binomischer Lehrsatz für Zähldichte
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Universität/Hochschule Verwendung binomischer Lehrsatz für Zähldichte
jurze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-26


Hallo, ich befinde mich in der Vorbereitung auf meine Stochastikklausur und die Aufgabe ist die folgende.

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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

zwei kurze Anmerkungen:

- du bist bei deiner Umformung irgendwie mit dem Summationsindex durcheinandergekommen. In der zweiten Version sollte die Summe meiner Meinung nach von \(l=0\) bis \(l=k\) gehen.

- es ist nach dem Binomischen Lehrsatz

\[(a+b)^k=\sum_{l=0}^k{k \choose l}a^l b^{k-l}\quad \Rightarrow\quad 2^k=(1+1)^k=\sum_{l=0}^k{k \choose l}1^l\cdot 1^{k-l}=\sum_{l=0}^k{k \choose l}\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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jurze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-26


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Vielen Dank nochmal. Kurzes Feedback zu der Lösung würde mich freuen.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

ich würde da bei der Umformung der Summe einige Zwischenschritte weglassen. Die Symmetrie des Binomialkoeffizienten

\[{k \choose k-l}={k \choose l}\]
kann man hier als bekannt voraussetzen. Du musst sie also nicht extra nachrechnen.

Wenn wirklich die Funktion \(f(k)\) die Zähldichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion sein soll, dann stimmt deine Berechnung von c jedoch noch nicht. Denn so wie du es jetzt gerechnet hast gilt konstant \(f(k)=1\). Das ist aber nicht gemeint. Sondern die Summe der Werte von \(f(k)\) über den natürlichen Zahlen soll ja 1 ergeben. Also:

\[\sum_{k=1}^{\infty}f(k)=1\]
Da musst du an deinem c noch etwas herumschrauben. 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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jurze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Tut mir leid, ich verstehe absolut was du meinst, komme aber jetzt nach stunden nicht zu einem Ergebnis. Folgendes ist mir aufgefallen.

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Vielen Dank für die Arbeit und Zeit

Gruß Daniel



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

2020-05-27 12:12 - jurze in Beitrag No. 4 schreibt:
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Die Formel ist falsch. Beachte, dass die Reihe bei $k=1$ anfängt, nicht bei $k=0$. Dein Ergebnis ist also um $1$ zu groß.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-05-27 12:12 - jurze in Beitrag No. 4 schreibt:
Tut mir leid, ich verstehe absolut was du meinst, komme aber jetzt nach stunden nicht zu einem Ergebnis.

Na ja, dass eine kumulierte Zähldichte in der Summe 1 ergeben sollte und nicht \(\infty\).

2020-05-27 12:12 - jurze in Beitrag No. 4 schreibt:
Folgendes ist mir aufgefallen.

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Das ist schon fast die richtige Idee. Du solltest nämlich wissen, welchen Wert diese Summe haben muss bzw.- ich habe es oben ja geschrieben.

Nur musst du oben noch mit einbauen, dass der verwendete Grenzwert der geometrischen Reihe für den Fall gilt, dass die Summation bei \(k=0\) beginnt. Das ist hier nicht so (das würde auch nicht funktionieren), du musst es also noch geeignet berücksichtigen (wie groß ist der erste Summand einer geometrischen Reihe stets?).

Wenn du das hast, dann ist letztendlich nur noch eine kleine Bruchgleichung zu lösen...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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jurze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Hallo vielen Dank nochmal, ihr habt mir echt geholfen. Ich denke auch, dass ich es jetzt hab. Für eventuell auch suchende, poste ich noch meine Lösung.

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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

oder einfacher:

\[\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{c}\right)^k=\frac{1}{1-\frac{2}{c}}-1=\frac{2}{c-2}\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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jurze hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
jurze hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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