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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Gibt es solche Mengen?
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Universität/Hochschule Gibt es solche Mengen?
daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-26


Hi,
gibt es Mengen die diese Eigenschaften erfüllen:

1)Gibt es endliche Mengen A,B,C sodass f:A-->B surjektiv, aber g: B-->C nicht injektiv?
-->Hier finde ich keine Mengen, die dies erfüllen. Findet ihr vielleicht welche, bzw. wenn nicht, warum nicht?)

2)Gibt es endliche Mengen A,B,C sodass f:A-->B nicht surjektiv, aber g: B-->C injektiv ist?
--> A=C={1}
--> B={1,2}

Stimmt das so, bzw habt ihr eine Idee bei der ersten Frage?
LG
daenerystargaryen



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-26


Moin,

ohne weiter Einschränkungen an $f$ und $g$, gibt es sowas natürlich.
Nimm $A=\{0,1\}=B=C$ und definiere $f=\mathrm{id}$ und $g(x)=0$.

Bei 2 müsstest du noch die Abbildungen angeben. Allerdings kann deine Abbildung $g$ nicht injektiv sein, denn $C$ hat nur ein Element, also muss $g(1)=1=g(2)$ sein.



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-26



Hallo, bitte entschuldige meine späte Rückmeldung und vielen lieben Dank für die Antwort:)

Was wäre denn ,wenn ,an von der Verknüfpung $g \circ f$ erwarten würde, dass sie insgesamt bijektiv ist? könnte man das erste Beispiel dazu umwandeln, oder gäbe es dazu dann endgültig keine Abbildung mehr.

Und zu Aufgabe 2 (+Voraussetzung, dass $g \circ f$ bijektiv):
Das dürfte dann doch auch nicht mehr funktionieren, oder?



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-26


Mein erstes Beispiel sollte das hergeben, wenn du bei $C$ die $1$ entfernst.



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


2020-05-26 21:21 - wessi90 in Beitrag No. 3 schreibt:
Mein erstes Beispiel sollte das hergeben, wenn du bei $C$ die $1$ entfernst.
Okay, dankeschön:)



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


2020-05-27 09:45 - daenerystargaryen in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-05-26 21:21 - wessi90 in Beitrag No. 3 schreibt:
Mein erstes Beispiel sollte das hergeben, wenn du bei $C$ die $1$ entfernst.
Okay, dankeschön:)

Tut mir leid, wenn das jetzt eine total dumme Frage ist, aber wenn

("Nimm A={0,1}=B=C und definiere f=id und g(x)=0.") ich jetzt etwas aus C entferne, aber aus A nicht, dann kann die Abbildung doch insgesamt nicht bijektiv sein, oder?



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-27


Ne, du stellst dich nicht dumm an, ich hab da nicht nachgedacht. Du hast natürlich Recht.



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Ok, danke:) Ich habe jetzt noch mal drüber nachgedacht und es gibt solche Mengen doch anscheinend nicht, oder?



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-27


Dass 1) unter der Voraussetzung $g\circ f$ bijektiv nicht gelten kann, ist übrigens relativ klar. Denn wegen $g$ nicht injektiv gibt es $x,y\in B$ mit $g(x)=g(y)$ und $x\neq y$. Weil $f$ surjektiv ist, gibt es $u,v\in A$ mit $f(u)=x$ und $f(v)=y$. Weil $x\neq y$ muss $u\neq v$ gelten (denn jedes Element der Definitionsmenge besitzt nur genau ein Bild). Dann gilt aber $g(f(v))=g(x)=g(y)=g(f(u))$, womit wir gezeigt haben, dass $(g\circ f)(u)=(g\circ f)(v)$ gilt mit $u\neq v$. Somit ist $g\circ f$ nicht injektiv und kann folglich nicht bijektiv sein.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-05-27


Auf ähnliche Art und Weise kannst du bei 2) zeigen, dass $g\circ f$ nicht surjektiv ist.



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Ok, vielen Dank nochmal, nun ist es mir klar geworden:)



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