Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Beweis des 1. Isomorphiesatzes verstehen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Beweis des 1. Isomorphiesatzes verstehen
Carmen_Wag
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.05.2020
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-27


Guten Morgen :)


Bin gerade dabei, den Beweis der ersten Isomorphiesatzes zu verstehen, aber habe schon direkt 2 Fragen am Anfang, ohne deren Beantwortung ich denn Rest des Beweises nicht verstehen könnte.



1. Isomorphiesatz
__________________


Sei $G$ eine Gruppe und $H, N$ Untergruppen.

Dabei normalisiere die Untergruppe $H$ die Untergruppe $N$, d.h. es gilt $h N h^{- 1} \subseteq N$.

Dann gilt $HN / N \cong H / H \cap N$


Beweis
_______

Wir wissen bereits, dass $N$ ein Normalteiler in $HN$ und $H \cap N$ ein Normalteiler in $H$ ist.

Setze $f: H \hookrightarrow HN \rightarrow HN/N$.


$f$ ist surjektiv, denn für $[hn] = hn N \in HN/N$ ist $hn N = hN = f(h)$.

$Ker(f) = \{ h \in H \; \vert \; [h] = h N = [e] = N \} = \{ h \in H \; \vert \; h \in N \} = H \cap N$.


Aus dem Homomorphiesatz folgt


$H /Ker(f) = H / H \cap N \cong Im(f) = HN /N$



Ich habe hier zwei Fragen:


1.) Was soll mir die Abbildung  $f: H \hookrightarrow HN \rightarrow HN/N$ sagen ? Welche Rolle spielt der Pfeil $\hookrightarrow$ ? Was bedeuet er ?

Außerdem ist die Abbildungsvorschrift nicht gegeben. Wie sieht die Abbildungsvorschrift aus ?

Bin echt verwirrt wegen den Pfeil.



2.) Müsste man nicht die Wohldefiniertheit dieser Abbildung zeigen ? Weil man da mit Restklassen rechnet.



Über eine Antwort würde ich mich riesig freuen.



mfg, Carmen





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1016
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Carmen_Wag,

wenn keine Abbildungsvorschtift gegeben ist, dann ist meistens einer der kanonischen Homomorphismen gemeint. Wenn beispielsweise $H$ eine Untergruppe von $G$ ist, dann meint $H\hookrightarrow G$ die kanonische Inklusion, also $h\mapsto h$ für alle $h\in H$. Der Haken am Pfeil bedeutet, dass diese Abbildung injektiv ist, und soll nochmal verdeutlichen, dass die (injektive) Inklusion gemeint ist.
Und ist $G/N$ eine Quotientengruppe von $G$, dann meint $G\to G/N$ die kanonische Projektion, also $g\mapsto gN$ für alle $g\in G$.

Entsprechend muss man die Wohldefiniertheit von $f$ nicht mehr zeigen, denn es handelt sich um eine Verkettung wohldefinierter Homomorphismen, nämlich der Projektion $HN\to HN/N$ und der Inklusion $H\hookrightarrow HN$. Auch wenn hier mit Restklassen gearbeitet wird, denn es wurde sicherlich schon bei der Definition der Quotientengruppe gezeigt, dass die Projektion wohldefiniert ist (genau dafür braucht man nämlich einen Normalteiler).

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Carmen_Wag
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.05.2020
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo!


2020-05-27 10:19 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:

 Wenn beispielsweise $H$ eine Untergruppe von $G$ ist, dann meint $H\hookrightarrow G$ die kanonische Inklusion, also $h\mapsto h$ für alle $h\in H$. Der Haken am Pfeil bedeutet, dass diese Abbildung injektiv ist, und soll nochmal verdeutlichen, dass die (injektive) Inklusion gemeint ist.



Ach so!

Also ist $f_{1}: H \hookrightarrow HN$ eine andere Notation  für die Abbildung $f_{1}: H \rightarrow HN, h \mapsto h$ ?


Wenn $H = \{e \}$ wäre, dann wäre $f_{1}$ bijektiv.

Wenn $\vert H \vert > 1$, dann ist $f_{1}$ injektiv.




Wir haben also die Abbildungen

$f_{1}: H \rightarrow HN, h \mapsto h$ (kanonische Inklusion)   und

$f_{2}: HN \rightarrow HN/N, hn \mapsto hn N$ (kanonische Projektion)



Und $f: H \hookrightarrow HN \rightarrow HN/N$ ist also dann einfach die Verkettung $ f_{2} \circ f_{1}: H \rightarrow HN/N $ ?




mfg, Carmen
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1016
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Alles richtig, bis auf das hier:

2020-05-27 12:37 - Carmen_Wag in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn $H = \{e \}$ wäre, dann wäre $f_{1}$ bijektiv.

Wenn $\vert H \vert > 1$, dann ist $f_{1}$ injektiv.

Die Abbildung ist bijektiv, wenn $N=\{e\}$, nicht wenn $H=\{e\}$. Oder allgemeiner, wenn $N\subseteq H$, dann ist $H\hookrightarrow HN$ bijektiv.
Injektiv ist die Abbildung immer, das haben Inklusionsabbildungen so an sich. Im Prinzip handelt es sich ja nur um die Identitätsabbildung mit eingeschränktem Definitionsbereich, und die Identität ist injektiv.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Carmen_Wag
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.05.2020
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
2020-05-27 13:25 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Alles richtig, bis auf das hier:

2020-05-27 12:37 - Carmen_Wag in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn $H = \{e \}$ wäre, dann wäre $f_{1}$ bijektiv.

Wenn $\vert H \vert > 1$, dann ist $f_{1}$ injektiv.

Die Abbildung ist bijektiv, wenn $N=\{e\}$, nicht wenn $H=\{e\}$. Oder allgemeiner, wenn $N\subseteq H$, dann ist $H\hookrightarrow HN$ bijektiv.
Injektiv ist die Abbildung immer, das haben Inklusionsabbildungen so an sich. Im Prinzip handelt es sich ja nur um die Identitätsabbildung mit eingeschränktem Definitionsbereich, und die Identität ist injektiv.


Genau! Das habe ich so gemeint, aber falsch abgetippt :-) Danke!


Wir haben also die Abbildung

$f: H \rightarrow HN/N$

Was ist hier die Abbildungsvorschrift ?


Und ich verstehe noch nicht bzw. ich sehe noch nicht den Sinn dahinter, warum man die kanonische Injektion überhaupt betrachten muss und diese dann mit der kanonischen Projektion verkettet.

Reicht es nicht, direkt die Abbildung $f: H \rightarrow HN/N$ zu betrachten ?


mfg, Carmen
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46186
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
2020-05-27 15:20 - Carmen_Wag in Beitrag No. 4 schreibt:
Wir haben also die Abbildung

$f: H \rightarrow HN/N$

Was ist hier die Abbildungsvorschrift ?
Hi Carmen_Wag,
die Abbildungsvorschrift lautet h ↦ f(h)=hN=Nh ∈ HN/N.
Gruß Buri
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1016
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
2020-05-27 15:20 - Carmen_Wag in Beitrag No. 4 schreibt:
Und ich verstehe noch nicht bzw. ich sehe noch nicht den Sinn dahinter, warum man die kanonische Injektion überhaupt betrachten muss und diese dann mit der kanonischen Projektion verkettet.

Reicht es nicht, direkt die Abbildung $f: H \rightarrow HN/N$ zu betrachten ?

Das reicht auch. Allerdings müsste man dann erstmal zeigen, dass es sich tatsächlich um einen Homomorphismus handelt. Wenn man die Abbildung aber aus zwei einfachen Homomorphismen zusammensetzt, dann ist es automatisch ein Homomorphismus, was den Beweis etwas verkürzt.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Carmen_Wag
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.05.2020
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-29


2020-05-27 17:04 - Buri in Beitrag No. 5 schreibt:

Hi Carmen_Wag,
die Abbildungsvorschrift lautet h ↦ f(h)=hN=Nh ∈ HN/N.
Gruß Buri


Danke! Ich habe irgendwie den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen.
Aber so macht das natürlich Sinn.


2020-05-27 20:28 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 6 schreibt:


Das reicht auch. Allerdings müsste man dann erstmal zeigen, dass es sich tatsächlich um einen Homomorphismus handelt. Wenn man die Abbildung aber aus zwei einfachen Homomorphismen zusammensetzt, dann ist es automatisch ein Homomorphismus, was den Beweis etwas verkürzt.


Okay, jetzt geht ein Licht auf.


Mit der Verkettung muss man den Beweis der Wohldefiniertheit nicht erbringen, wie du schon geschrieben hast, denn die Komposition zweier wohldefinierter Funktionen ist wieder wohldefiniert.

Wobei ich wohldefinierte Funktion nicht schreiben dürfte, weil ich damit impliziere, dass es auch nicht wohldefinierte Funktionen gibt.

Aber Funktionen sind immer wohldefiniert.



Und die Homomorphie muss man auch nicht zeigen, denn die Verkettung zweier Homomorphismen ist wieder ein Homomorphismus.


Ich denke, der Rest des Beweises ist dann klar.



Ich bedanke mich herzlich für eure Hilfe! Das hat mich weiter gebracht.


Wünsche euch einen schönen Start in den Tag!


mfg, Carmen



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Carmen_Wag hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Carmen_Wag hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]