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Strukturen und Algebra » Ringe » Faktorring
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Universität/Hochschule J Faktorring
Thomas_Pilg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-31


Hallo
Ich soll folgende Aussage beweisen
Sei K ein Körper, R = K[x] und I C R mit I nicht {0}. Zeigen Sie, dass im Faktorring
R0 = R/I jedes Element entweder invertierbar oder ein Nullteiler (d.h. zu diesem a ∈ R0  existiert
ein b ∈ R0 \ {0} mit ab = 0) ist. Gilt dies auch wenn R ein beliebiger Hauptidealbereich ist?
Habe mir dabei schon überlegt ob es einen Unterschied macht, ab das Von i aufgespannte Ideal selbst irreduzibel ist. Komme jedoch nicht recht weiter.
Wäre für jeden Tipp dankbar.
Lg Thomas



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JonyGo
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-31


$K[X]$ ist euklisch. Sei $(f)=I$, $\overline g\in K[X]/I$ mit $g\in K[X]$. Dann gibt es $r,s \in K[X]$ mit $ggT(f,g)=rf+sg$. Falls $ggT(f,g)=1$ folgt aus $rf+sg=1$, dass $\overline g$ eine Einheit ist mit $\overline g \overline s = \overline 1$. Aus $ggT(f,g)=rf+sg \neq 1$ folgt, dass $g$ ein Nullteiler ist mit $h:=\frac{f}{ggT(f,g)}$ und $\overline h \overline g = 0$.

Für ein mögliches Gegenbeispiel betrachte einen Hauptidealring, der nicht euklidisch ist, z.B.: An example of a PID which is not a Euclidean domain



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