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Analysis » Maßtheorie » Eindeutigkeitssatz für Maße (Beweis verstehen)
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Universität/Hochschule Eindeutigkeitssatz für Maße (Beweis verstehen)
Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-01


Guten Morgen :)

Ich versuche seit einer Weile den Beweis des Eindeutigkeitssatzes für Maße zu verstehen.

Ich meine, den Großteil des Beweises verstanden zu haben, ich habe nur an ein paar Stellen eine kleine Frage.



Satz
_____

Sei $\mathcal{E}$ ein $\cap$ - stabiles System von Teilmengen einer Menge $\Omega \neq \emptyset$.

Sind $\mu_{1}$ und $\mu_{2}$ zwei Maße auf $(\Omega, F(\mathcal{E}))$, die auf $\mathcal{E}$ übereinstimmen und $\sigma$ - endlich in $\mathcal{E}$ sind, so stimmen sie auf $F(\mathcal{E})$ überein.


Beweis
_______

Für $A \in \mathcal{E}$ mit $\mu_{1}(A) < \infty$ setze $D_{A} := \{ D \in F(\mathcal{E})\; \vert \; \mu_{1}(A \cap D) = \mu_{2}(A \cap D) \}$

Man rechnet leicht nach, dass $D_{A}$ ein Dynkinsystem in $\Omega$ ist.

Nach Voraussetzung ist $\varepsilon$ $\cap$ - stabil, d.h. es gilt $\mathcal{E} \subseteq D_{A}$.

$\Rightarrow  F(\mathcal{E}) = D(\mathcal{E}) \subseteq D(D_{A}) \subseteq F(\mathcal{E})$, also $F(\mathcal{E})= D_{A}$.

$\rightarrow \mu_{1}(A \cap D) = \mu_{2}(A \cap D)\quad \forall D \in F(\mathcal{E})$, $A \in \mathcal{E}$ mit $\mu_{1}(A) < \infty$


Wähle $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \ldots \in \mathcal{E}$ mit $ \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} = \Omega$  und  $\mu_{1}(A) < \infty \quad \forall n \in \mathbb{N}$.

$\Rightarrow  \mu_{1} (A_{n} \cap D) = \mu_{2} (A_{n} \cap D)\forall D \in F(\mathcal{E}), n \in \mathbb{N}$.


Da $D = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{n}} (A_{n} \cap D)$, folgt aus der Stetigkeit von unten:


$\mu_{1}(D) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mu_{1}(A_{n} \cap D)= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mu_{2}(A_{n} \cap D) = \mu_{2}(D)\quad \forall D \in F(\mathcal{E})$.


Meine Fragen sind:




1.) Was soll bedeuten, dass $\mu_{1}$ und $\mu_{2}$ auf $\mathcal{E}$ übereinstimmen ?

Einfach, dass $\mu_{1}(A) = \mu_{2}(A)\quad \forall A \in \mathcal{E}$ gilt ?


Und falls das so ist, garantiert uns dann der Maßeindeutigkeitssatz, dass

 $\mu_{1}(A) = \mu_{2}(A)\quad \forall A \in F(\mathcal{E})$ gilt, wenn die genannten Voraussetzungen erfüllt sind ?



2.) Dass $D_{A}$ ein Dynkinsystem in $\Omega$ ist, ist mir, denke ich, klar. Habe mich damit beschäftigt, dies zu zeigen.

Und ich bin mir nicht ganz sicher, warum $\mathcal{E} \subseteq D_{A}$ gilt.

Liegt es einfach daran, dass $\mu_{1}(A) = \mu_{2}(A)\quad \forall A \in \mathcal{E}$ gilt und wegen der $\cap$ - Stabilität von $\mathcal{E}$ der Schnitt zweier Elemente aus $\mathcal{E}$ wieder in $\mathcal{E}$ liegt ?


3.) Inwiefern geht die Eigenschaft $\mu_{1}(A) < \infty $ bzw. $\mu_{1}(A) < \infty $ in den Beweis ein ? Habe irgendwie den Eindruck, also könnte man sie vernachlässigen.

Was wäre, wenn $\mu_{1}(A) < \infty $  bzw. $\mu_{1}(A_{n}) < \infty $ nicht gelten würde ?



So das war's. Würde mich freuen, wenn sich jemand meldet :)


Wünsche euch einen guten Start Tag!



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-01


Hallo Benni97,

du musst in deinem Beitrag ein paar mal \bigcap durch \bigcup ersetzen.

2020-06-01 09:20 - Benni97 im Themenstart schreibt:

1.) Was soll bedeuten, dass $\mu_{1}$ und $\mu_{2}$ auf $\mathcal{E}$ übereinstimmen ?

Einfach, dass $\mu_{1}(A) = \mu_{2}(A)\quad \forall A \in \mathcal{E}$ gilt ?


Und falls das so ist, garantiert uns dann der Maßeindeutigkeitssatz, dass

 $\mu_{1}(A) = \mu_{2}(A)\quad \forall A \in F(\mathcal{E})$ gilt, wenn die genannten Voraussetzungen erfüllt sind ?


Ja genau.



2.) Dass $D_{A}$ ein Dynkinsystem in $\Omega$ ist, ist mir, denke ich, klar. Habe mich damit beschäftigt, dies zu zeigen.

Und ich bin mir nicht ganz sicher, warum $\mathcal{E} \subseteq D_{A}$ gilt.

Liegt es einfach daran, dass $\mu_{1}(A) = \mu_{2}(A)\quad \forall A \in \mathcal{E}$ gilt und wegen der $\cap$ - Stabilität von $\mathcal{E}$ der Schnitt zweier Elemente aus $\mathcal{E}$ wieder in $\mathcal{E}$ liegt ?

Das stimmt ebenfalls.


3.) Inwiefern geht die Eigenschaft $\mu_{1}(A) < \infty $ bzw. $\mu_{1}(A) < \infty $ in den Beweis ein ? Habe irgendwie den Eindruck, also könnte man sie vernachlässigen.

Was wäre, wenn $\mu_{1}(A) < \infty $  bzw. $\mu_{1}(A_{n}) < \infty $ nicht gelten würde ?

Das brauchst du, um die Abgeschlossenheit von $D_A$ unter Komplementen zu zeigen. Versuch dir mal zu überlegen, wieso.

Falls $\mu_1$ und $\mu_2$ nicht $\sigma$-endlich auf $\mathcal E$ sind, gilt die Aussage i.A. nicht. Wähle z.B. $\mu_1 = \lambda$, $\mu_2 = 2\lambda$ wobei $\lambda$ das Lebesguemaß auf $(\mathbb R, \mathcal B(\mathbb R))$ ist und $\mathcal E =\big\{ (-\infty, b]: \, b\in \mathbb R \big\}$.



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


So, da melde ich mich wieder. Hatte gestern sehr wenig Zeit, daher entschuldige bitte die verspätete Rückmeldung.

Ich bedanke mich für die Antwort! :)

2020-06-01 10:53 - qzwru in Beitrag No. 1 schreibt:



3.) Inwiefern geht die Eigenschaft $\mu_{1}(A) < \infty $ bzw. $\mu_{1}(A) < \infty $ in den Beweis ein ? Habe irgendwie den Eindruck, also könnte man sie vernachlässigen.

Was wäre, wenn $\mu_{1}(A) < \infty $  bzw. $\mu_{1}(A_{n}) < \infty $ nicht gelten würde ?

Das brauchst du, um die Abgeschlossenheit von $D_A$ unter Komplementen zu zeigen. Versuch dir mal zu überlegen, wieso.




Okay, vielleicht ist es doch besser, wenn ich mal den Beweis, dass $D_{A}$ ein Dynkinsystem ist, kurz hier schreibe.




Behauptung
___________


Sei $\mathcal{E}$ ein $\cap$ - stabiles System von Teilmengen von $\Omega$ und seien $\mu_{1}$ und $\mu_{2}$ zwei Maße auf $(\Omega, F(\mathcal{E}))$, die auf $\mathcal{E}$ übereinstimmen.

Dann ist für $A \in \mathcal{E}$ mit $\mu_{1}(A) < \infty$ die Menge

$D_{A} := \{ D \in F(\mathcal{E})\; \vert \; \mu_{1}( A \cap D )= \mu_{2}( A \cap D ) \}$ ein Dynkinsystem in $\Omega$.




Beweis
_______


Wir zeigen:


$(i)$ $\Omega \in D_{A}$

$(ii)$ $ B \in D_{A} \Rightarrow \overline{B} \in D_{A}$

$(iii)$ Für abzählbar viele $A_{1}, A_{2}, \ldots D_{A} $ mit $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ für $i \neq j$ folgt $\bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} A_{i} \in D_{A}$


Zu (i)
________

Es gilt $A \subseteq \Omega$, also $A \cap \Omega$.

Folglich ergibt sich $\mu_{1} (A \cap \Omega) = \mu_{1} \overset{\text{n. V}}{\underset{\text{}}{=}} \mu_{2} (A) = \mu_{2} (A \cap \Omega)$

Also ist $\Omega \in D_{A}$.



Zu (ii)
________

Sei $B \in D_{A}$.

Es ist $\Omega = B \cup B^{c}$.


$\mu_{1}(A) = \mu_{1}(A) = \mu_{1}(A \cap \Omega)  = \mu_{1}(A \cap (B \cup B^{c})) = \mu_{1}(A \cap B \cup A \cap B^{c})$


$\mu_{2}(A) = \mu_{2}(A) = \mu_{2}(A \cap \Omega)  = \mu_{2}(A \cap (B \cup B^{c})) = \mu_{2}(A \cap B \cup A \cap B^{c})$



Weil die Mengen $A \cap B$ und $A \cap B^{c}$ disjunkt sind, gilt


$\mu_{1} (A) = \mu_{1}(A \cap B \cup A \cap B^{c}) = \mu_{1}(A \cap B ) + \mu_{1} ( A \cap B^{c})$ und $\mu_{2} (A) = \mu_{2}(A \cap B \cup A \cap B^{c}) = \mu_{2}(A \cap B ) + \mu_{2} ( A \cap B^{c})$


Wegen der Voraussetzung haben wir die Gleichheit $\mu_{1}(A) = \mu_{1}(A \cap B ) + \mu_{1} ( A \cap B^{c})$ und $\mu_{2} (A)  = \mu_{2}(A \cap B ) + \mu_{2} ( A \cap B^{c})$

Daraus folgt sofort, dass $\mu_{1} ( A \cap B^{c}) = \mu_{2} ( A \cap B^{c})$ . Also ist $B^{c} \in D_{A}$.




Machen wir hier einen Cut.

Wo genau spielt hier die Eigenschaft $\mu_{1} (A) < \infty$ eine Rolle ?

Da $\mu_{1}$ und $\mu_{2}$ auf $\mathcal{E}$ übereinstimmen, gilt $\mu_{1}(A) = \mu_{2}(A) < \infty\quad \forall A \in \mathcal{E}$.



Aber welcher Teil von $(ii)$ würde schief gehen, wenn $\mu_{1}(A) = \mu_{2}(A) = \infty\quad \forall A \in \mathcal{E}$ gelten würde ? Bin darauf noch nicht gekommen...


Alleine die Eigenschaft $\mu_{1}(A) = \mu_{2}(A) = \infty$ macht für mich wenig Sinn, da Unendlich keine reelle Zahl ist.

Daher könnte man $\mu_{1}(A)$ und $\mu_{2}(A)$ eigentlich nicht miteinander vergleichen.


Freue mich auf eine Rückmeldung! 😄


Wünsche dir einen guten Start in den Tag!



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qzwru
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Hallo Benni97,

2020-06-03 06:30 - Benni97 in Beitrag No. 2 schreibt:
$\mu_{1}(A \cap B \cup A \cap B^{c})$

in solchen Ausdrücken solltest du besser Klammern setzen.


Wegen der Voraussetzung haben wir die Gleichheit $\mu_{1}(A) = \mu_{1}(A \cap B ) + \mu_{1} ( A \cap B^{c})$ und $\mu_{2} (A)  = \mu_{2}(A \cap B ) + \mu_{2} ( A \cap B^{c})$

Daraus folgt sofort, dass $\mu_{1} ( A \cap B^{c}) = \mu_{2} ( A \cap B^{c})$ . Also ist $B^{c} \in D_{A}$.

Falls $\mu_1(A \cap B) = \mu_2(A \cap B) = \infty$ so stimmt das nicht. Für alle $a, b \in \mathbb R \cup \{\infty\}$ ist $\infty + a = \infty  = \infty + b$.


Alleine die Eigenschaft $\mu_{1}(A) = \mu_{2}(A) = \infty$ macht für mich wenig Sinn, da Unendlich keine reelle Zahl ist.

Daher könnte man $\mu_{1}(A)$ und $\mu_{2}(A)$ eigentlich nicht miteinander vergleichen.

Das macht keinen Sinn. $\{\pi, e, i\} = \{\pi, e\} \cup \{i\}$ obwohl $\{\pi, e, i\}$ keine reelle Zahl ist 😉



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2020-06-03 11:10 - qzwru in Beitrag No. 3 schreibt:


Das macht keinen Sinn. $\{\pi, e, i\} = \{\pi, e\} \cup \{i\}$ obwohl $\{\pi, e, i\}$ keine reelle Zahl ist 😉


Ich nehme meine Aussage zurück😁




2020-06-03 11:10 - qzwru in Beitrag No. 3 schreibt:


Falls $\mu_1(A \cap B) = \mu_2(A \cap B) = \infty$ so stimmt das nicht. Für alle $a, b \in \mathbb R \cup \{\infty\}$ ist $\infty + a = \infty  = \infty + b$.




Ach so!


$\mu_{1} (A) = \mu_{1} (A \cap B) + \mu_{1} (A \cap B^{c})$

$\mu_{2} (A) = \mu_{2} (A \cap B) + \mu_{2} (A \cap B^{c})$

Falls $ \mu_{1} (A \cap B) =  \mu_{2} (A \cap B) = \infty$ gilt, haben wir



$\infty + \mu_{1} (A \cap B^{c}) = \infty + \mu_{2} (A \cap B^{c})$


und man könnte nicht sagen, ob $\mu_{1} (A \cap B^{c}) = \mu_{2} (A \cap B^{c})$ gilt.



Und was ist, wenn $ \mu_{1} (A \cap B) =  \mu_{2} (A \cap B) < \infty$  ? Könnten sich da Widersprüche ergeben?




Das ist also auch der Grund, warum man weiter unten im Beweis (erster Post) $\mu_{1} (A_{n}) < \infty$ fordert.

 Damit der Fall $ \mu_{1} (A_{n} \cap D) =  \mu_{2} (A_{n} \cap D) = \infty$ nicht auftreten kann, oder ?



Wie dem auch sei, die Unendlichkeit ist merkwürdig. Da bleibe ich lieber bei der Endlichkeit.



Würde mich auf eine weitere Rückmeldung von dir freuen😁



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2020-06-03 12:12 - Benni97 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ach so!


$\mu_{1} (A) = \mu_{1} (A \cap B) + \mu_{1} (A \cap B^{c})$

$\mu_{2} (A) = \mu_{2} (A \cap B) + \mu_{2} (A \cap B^{c})$

Falls $ \mu_{1} (A \cap B) =  \mu_{2} (A \cap B) = \infty$ gilt, haben wir



$\infty + \mu_{1} (A \cap B^{c}) = \infty + \mu_{2} (A \cap B^{c})$


und man könnte nicht sagen, ob $\mu_{1} (A \cap B^{c}) = \mu_{2} (A \cap B^{c})$ gilt.



Und was ist, wenn $ \mu_{1} (A \cap B) =  \mu_{2} (A \cap B) < \infty$  ? Könnten sich da Widersprüche ergeben?

Für diese eine Implikation nicht, dann sind entweder beide Seiten der Gleichung unendlich, dann ist $\mu_1(A\cap B^c) = \infty =  \mu_2(A\cap B^c)$ oder beide Seiten sind endlich und du kannst die Gleichung in $\mathbb R$ umstellen. Für den Beweis allgemein brauchst du aber natürlich $\mu_1(A) = \mu_2(A) < \infty$ und dann sind wegen der Monotonie von Maßen eh alle beteiligten Größen endlich. (Ich hoffe, ich habe deine Frage richtig verstanden.)



Das ist also auch der Grund, warum man weiter unten im Beweis (erster Post) $\mu_{1} (A_{n}) < \infty$ fordert.

 Damit der Fall $ \mu_{1} (A_{n} \cap D) =  \mu_{2} (A_{n} \cap D) = \infty$ nicht auftreten kann, oder ?

Naja, du musst $\mu_1(A_n) = \mu_2(A_n) < \infty$ fordern, um den ersten Teil des Beweises anwenden zu können. Was ich damit sagen will: Für die Stetigkeit von unten braucht man die Endlichkeit nicht (man würde sie aber für Stetigkeit von oben benötigen).



Wie dem auch sei, die Unendlichkeit ist merkwürdig. Da bleibe ich lieber bei der Endlichkeit.

Mir war anfangs als ich Integrationstheorie gelernt habe auch etwas unwohl dabei. Aber man gewöhnt sich schnell daran, man muss nur an manchen Stellen etwas aufpassen 😄



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