Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Gockel Dune
Mathematik » Topologie » Identitätsabbildung stetig, wenn T1 feiner als T2
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Identitätsabbildung stetig, wenn T1 feiner als T2
Orangenbaum
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-02


Hallo zusammen,

ich will zeigen, dass wenn ich zwei Topologien T1 und T2 auf der selben Menge Y habe, die Identitätsabbildung Id:(Y, T1) nach (Y, T2) genau dann stetig ist, wenn T1 feiner als T2 ist.

Mir ist klar dass dies gelten muss, aber trotzdem kriege ich den Beweis einfach nicht zusammen und würde mich über ein wenig Hilfe sehr freuen!

Was ich weiß ist folgendes:

- T1 feiner als T2 bedeutet, dass jede offene Menge bezüglich T2 auch offen bezüglich T1 ist.

- Die Abbildung f ist stetig im Punkt a, wenn es für jede T2 Umgebung V eine T1-Umgebung U gibt sodass U eine Teilmenge des Urbildes von f(V) ist. f ist stetig, wenn es in jedem Punkt stetig ist.

- Eine Abbildung f:X nach Y ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Teilmenge A von Y offen ist in X.


Vielen Dank im Voraus!




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1025
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Orangenbaum,

lass doch mal $A$ so eine offene Menge aus der Topologie $T_2$ sein. Was ist $\operatorname{Id}^{-1}$? Wann ist $\operatorname{Id}^{-1}(A)$ offen bezüglich der Topologie $T_1$?

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orangenbaum
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Hallo Vercassivelaunos,

erstmal ein Danke für deine Antwort!

Also $Id^{-1}=Id$, wobei es von T2 nach T1 abbildet.

Und $Id^{-1}(A)=A$, d.h. $Id^{-1}(A)$ ist genau dann offen bezüglich T1, wenn $A$ offen bezüglich T1 ist.


Was mich irritiert ist der Satz "Eine Abbildung f:X nach Y ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Teilmenge A von Y offen ist in X.". Hier ist A ja offen in einer Kompletten Menge X und bei mir nur in der zugehörigen Topologie T1, das kann doch nicht das Selbe sein?
Sorry falls ich grad einfach nur auf dem Schlauch stehe🙃

Viele Grüße
Orangenbaum



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wessi90
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2059
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-02


Du musst dir die Definitionen erst einmal richtig klar machen. Ein topologischer Raum ist ein Tupel $(X,T)$, wobei $X$ eine Menge ist und $T$ eine Teilmenge der Potenzmenge, die die Eigenschaften einer Topologie erfüllt. Die Elemente von $T$ sind also Teilmengen von $X$.

Nun haben wir zwei topologische Räumme: $(X,T_1)$ und $(Y,T_2)$. Eine Abbildung $f:X\to Y$ heißt stetig, falls für ein beliebiges $A\in T_2$ wahr ist, dass für das Urbild gilt: $f^{-1}(A)\in T_1$.

Kurz: Urbilder offener Mengen sind offen. Natürlich kann $X=Y$ gelten. Ich mache mal ein kokretes Beispiel. Sei $X=\{0,1,2\}$. Dann ist $T_1=\{\emptyset,\{0\},X\}$ eine Topologie (prüfe das gerne nach). Diese Topologie ist natürlich feiner als die gröbste Topologie, die ich hier mal $T_2=\{\emptyset,X\}$ nenne.

Jetzt kann ich natürlich Abbildungen zwischen den (verschiedenen!) topologischen Räumen $(X,T_1)$ und $(X,T_2)$ betrachten. Nehmen wir die Identität. Ist sie stetig? Zunächst erkennen wir: $\mathrm{id}^{-1}=\mathrm{id}$. $T_2$ hat 2 Elemente, wir prüfen für beide also nach, $\mathrm{id}^{-1}(\emptyset)=\emptyset\in T_1$, $\mathrm{id}^{-1}(X)=X\in T_1$. Somit liegen die Urbilder aller Elemente von $T_2$ in $T_1$, die Abbildung ist also stetig.

Kannst du diesen Beweis verallgemeinern? Du musst dazu eigentlich nur die Definition von "feiner" verwenden.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1025
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Ich glaube, du hast nicht die richtige Vorstellung davon, was offen heißt. Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann offen (per Definition), wenn sie Element der Topologie ist. "Offen in der Topologie" hat daher keine sinnvolle Bedeutung. Die Topologie ist nicht selbst ein topologischer Raum, sondern sie ist eine Liste der offenen Mengen.

"Offen in $X$" ist nur Kurzform für "offen in $(X, T_X)$" mit einer implizierten Topologie $T_X$ von $X$. In diesem Fall ist $X=Y$ und $T_X=T_1$.

Du musst also untersuchen, ob $\operatorname{Id}^{-1}(A)\in T_1$ ist, wenn $A\in T_2$. Beachte hier $\in$, nicht $\subset$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orangenbaum
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Hallo und ein riesen Danke an euch beide!

Ich habe den Beweis jetzt mal zusammengeschrieben:


Gegeben sind zwei Topologien T1 und T2 auf der selben Menge Y. Es soll gezeigt werden, dass die Identitätsabbildung Id:(Y, T1) nach (Y, T2) genau dann stetig ist, wenn T1 feiner als T2 ist.

Die Identitätsabbildung Id:(X,T1)→(X,T2) heißt stetig, falls für ein beliebiges $A \in T2$ wahr ist, dass für das Urbild gilt: $Id^{−1}(A)\in T1$.

Da die Identitätsabbildung Elemente auf sich selbst abbildet gilt $Id^{-1}(A)=Id (A)$. Damit ist $Id^{-1}(A)=Id (A) \in T1 $ genau dann wenn $A\in T1$.

Somit ist die Identitätsabbildung genau dann stetig, wenn jedes beliebige $A\in T2$ auch in $T1$ enthalten ist, wenn jede offene Menge bezüglich T2 also auch offen bezüglich T1 ist. Dies ist nach Definition äquivalent zu der Aussage, dass T1 feiner als T2 ist, womit obige Aussage bewiesen wäre.

Passt das so einigermaßen? Mir kommt das irgendwie noch ein wenig ungenau vor:(



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
wessi90
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2059
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-02


Das passt so, denke ich, ich würde zum Test des Verständnisses bei Äquivalenzen immer empfehlen, beide Richtungen einzeln zu zeigen. Dein Beweis ist aber dennoch so wie er da steht korrekt, würde ich sagen.

Hier ist ja eine Äquivalenz zu zeigen und zur Verdeutlichung tu ich das mal. Sei dazu $\mathrm{id}$ stetig, d.h. $\mathrm{id}^{-1}(A)\in T_1$ für alle $A\in T_2$. Wähle also $A\in T_2$ beliebig, dann gilt $\mathrm{id}^{-1}(A)=\mathrm{id}(A)=A$ und folglich $A\in T_1$ (aufgrund der Stetigkeit). Somit ist $T_1$ feiner als $T_2$.

Für die andere Richtung nehme ich an, dass $T_1$ feiner ist als $T_2$, d.h. falls $A\in T_2$ ein beliebiges Elelement von $T_2$ ist, so ist $A\in T_1$. Dann folgt aber $\mathrm{id}^{-1}(A)=A\in T_1$, also ist $\mathrm{id}$ stetig.




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orangenbaum wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]