Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Topologie » Kompaktheit einer konvexen Menge in einem Produktraum
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Kompaktheit einer konvexen Menge in einem Produktraum
lae2723
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2020
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-02


Hallo,
ich lese ein Paper, in dem über eine Menge $\overline{U}$ behauptet wird, sie sei kompakt. Daraus wird weiteres gefolgert, daher würde ich gerne verstehen, warum diese Menge kompakt ist.

$U$ ist gegeben als die Menge $U = int(conv(K) \times [-1,1])$ und $K$ als $K = \{(v,m) \in \mathbb{S}^{n-1} \times S^n_{0} : m = v \otimes v - \frac{I_{n}}{n}\}$. Dabei ist $S^n_{0}$ die Menge der symmetrischen $n \times n$-Matrizen, deren Spur null ist, und $\mathbb{S}^{n-1}$ ist die Einheitssphäre in $\mathbb{R}^n$.
Da $\overline{U} \subset \mathbb{R}^n \times S^n_{0} \times R$ ist, müsste sie für Kompaktheit abgeschlossen und beschränkt sein. Da sie abgeschlossen ist, muss nur die Beschränktheit begründet werden. Wie begründet man Beschränktheit in einem Produktraum wie diesem?

Über einen Hinweis würde ich mich sehr freuen! :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2850
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-02


Hallo,

ich schreibe mal $m$ als Funktion von $v$, was aber nichts weiter ändert.

Sei also \[
m\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^{n,n},
\, m(v):=vv^T-\frac 1n I_n
\] Nun ist $m$ stetig. Ebenso ist jede Norm auf $\mathbb{R}^{n,n}$ stetig. Das bedeutet, dass die Komposition $v\mapsto \|m(v)\|$ ebenso stetig ist. Insbesondere nimmt sie auf der (kompakten) Sphäre ihr Supremum an. Kannst du damit weitermachen?


Vielleicht noch etwas anderes. Das Bild von $\mathbb{S}^{n-1}$ unter der Abbildung $m$ ist nicht $S_0^n$ sondern nur eine Teilmenge davon. Jede Matrix in $m(\mathbb{S}^{n-1})$ hat den $n-1$-fachen Eigenwert $-\frac 1n$ und den einfachen Eigenwert $1-\frac 1n$. Kannst du das zeigen?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
lae2723
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2020
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


Vielen Dank für die Antwort! :)

Mir ist es bisher nicht gelungen zu beweisen, dass dies die Eigenwerte sind, da ich die Methoden der linearen Algebra nicht mehr ganz vor Augen habe, aber ich kann die Eigenwerte nachvollziehen:
Für $\lambda = -\frac{1}{n}$ ergibt sich $det(vv^T - (\frac{1}{n} + \lambda)I_{n}) = det(vv^T) = 0$ und für $\lambda = 1 -\frac{1}{n}$ erhält man $det(vv^T - (\frac{1}{n} + \lambda)I_{n}) = det(vv^T - I_{n}) = v^Tv -1 = |v|^2 -1$ und da für $v \in \mathbb{S}^{n-1}$  $|v|^{2} = 1$ gilt, erhält man auch für diesen Eigenwert null.
Für symmetrische Matrizen $A$ gilt $||A||_{2} = max_{j} |\lambda_{j}|$. Also erhalten wir $||m(v)||_{2} = max\{\frac{1}{n}, 1- \frac{1}{n}\} \leq 1$ für $v \in \mathbb{S}^{n-1}$. Also ist $m(v)$ in $S_{0}^n$ beschränkt, richtig? Aber reicht die Beschränktheit von $K$ aus, um die Beschränktheit von $\overline{U}$ zu begründen?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
lae2723 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
lae2723 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]