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Universität/Hochschule Kondition einer Steifigkeitsmatrix
Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-02


Hallo an alle, ich melde mich einmal wieder mit einem Problem:
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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
sonnenschein96
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Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 60
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-02


Hallo Mathsman,

es ist richtig, dass \(\frac{2}{1-\cos(\frac{\pi}{N})}\leq N^2\) für alle \(N\in\mathbb{N}\). Dies ist ja äquivalent zu \(2\leq N^2(1-\cos(\frac{\pi}{N}))\).

Für \(N=1\) gilt offensichtlich Gleichheit. Eine (wenn auch zugegebenermaßen nicht sehr elegante...) Möglichkeit dies für \(N\geq2\) einzusehen, wäre wohl sich mittels einer Restgliedabschätzung zu überlegen, dass \(\cos(y)-1+\frac{y^2}{2!}\leq\frac{y^4}{4!}\) für alle \(y\in\mathbb{R}\) ist. Daraus folgt
\[N^2(1-\cos(\frac{\pi}{N}))\geq N^2\left(\frac{(\frac{\pi}{N})^2}{2}-\frac{(\frac{\pi}{N})^4}{24}\right) = \frac{\pi^2}{2}-\frac{\pi^4}{24N^2}\geq\frac{\pi^2}{2}-\frac{\pi^4}{24*2^2}\geq2.\]



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Monom
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.05.2015
Mitteilungen: 99
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-02


Hallo Mathsman,

wenn wir im Nenner $x = \frac{1}{N}$ setzen und in $x = 0$ Taylor'n (also in $N=\infty$), bekommen wir für ein $\xi \in (0, x)$:
$$ 1-\cos\left( \pi x \right) = \frac{\pi^2}{2}x^2 - \frac{\pi^3}{6} \sin\left( \pi \xi \right) x^3. $$ Hier haben wir das Lagrange-Restglied verwendet.

Für den gesamten Bruch bekommen wir also
$$ \frac{2}{1-\cos\left( \pi \frac{1}{N} \right)} = \frac{2}{\frac{\pi^2}{2}\frac{1}{N^2} - \frac{\pi^3}{6} \sin\left( \pi \xi \right) \frac{1}{N^3}}$$ mit $\xi \in (0, \frac{1}{N})$.

Jetzt nur noch den Nenner abschätzen.

EDIT: Da war sonnenschein96 mit einer ähnlichen Idee schneller.

Viele Grüße
Monom

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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