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Universität/Hochschule Implizite Funktionen - Extrema bestimmen
jan26
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 27.05.2020
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-03


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8840
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, jan26,

wenn die Auflösung in der Form \( y(x)\) ein Extremum hat, muss die Ableitung von \( y\) nach \( x\) Null sein.

Und das kann man mit dem Satz über  implizite Funktionen ausrechnen.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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JonyGo
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 31.05.2020
Mitteilungen: 32
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-03


Die implizite Funktion $f(x)=y$ ist gegeben durch $F(x,y)=x^2 + xy + y^2 -3=0$. Für die Ableitung gilt
$$f'(x,y)=-\frac{F_x}{F_y}=\frac{2x+y}{x+2y}$$ Aus der üblichen Bedingung $f'(x,y)=0$ für Extrema und $F(x,y)=0$ erhalten wir das Gleichungssystem
$$ x^2 + xy + y^2 -3=0 \qquad\land \qquad y=-2x$$ Durhc einsetzen der zweiten Gleichung in die erste erhalten wir möglichen Extrema $(\pm 1,\mp 2)$. Diese können dann in $f''(x,y)$ eingesetzt werden, um auf Maximum/Minimum zu testen.



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