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Universität/Hochschule J Formel für mittlere Krümmung
schnitzel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-03


Hi,

es geht um die Formel für die mittlere Krümmung auf Wiki:
hier

\(H = \frac{(1+f_v^2)f_{uu} - 2f_uf_vf_{uv} + (1+f_u^2)f_{vv}}{2\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}^{3}}\)

Ist die so korrekt? Weiter unten steht:
Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r hat die mittlere Krümmung H = 1/r.

D.h. auf der gesamten Kugeloberfläche ist die mittlere Krümmung 1/r. Wenn man aber in der Formel f durch -f ersetzt, bekommt man doch den negativen Wert. Die obere Kugelhälfte hätte doch dann den Werte -1/r und die untere 1/r. Sieht jemand den Denkfehler?

Viele Grüße



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-03


Hallo schnitzel,

das Vorzeichen der mittleren Krümmung hängt von der Wahl des Normalenfeldes ab.

Die mittlere Krümmung der Sphäre mit Radius \(r\) ist konstant \(\frac{1}{r}\), wenn man das nach "innen" zeigende Normalenfeld wählt.

Die Formel auf Wikipedia für Graphen von Funktionen bezieht sich denke ich auf das nach "unten" zeigende Normalenfeld.

Wenn Du also die obere Hälfte der Sphäre als Graph auffasst stimmt dies überein.

Wenn Du allerdings die untere Hälfte der Sphäre als Graph auffasst, ist das nach "unten" zeigende Normalenfeld des Graphen das nach "außen" zeigende Normalenfeld der Sphäre.

Du erhälst also beim Übergang von \(f\) zu \(-f\) ein anderes Vorzeichen in der Formel, da Du damit vom "inneren" zum "äußeren" Normalenfeld der Sphäre übergehst.



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schnitzel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Hi,
vielen Dank für deine Antwort, jetzt ergibt das mehr Sinn.
Viele Grüße



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schnitzel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
schnitzel hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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