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Strukturen und Algebra » Gruppen » Exponent einer Gruppe ist kgV der Ordnungen der Gruppenelemente
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Universität/Hochschule Exponent einer Gruppe ist kgV der Ordnungen der Gruppenelemente
Carmen_Wag
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-05



Morgen :)

Zu Übungszwecken habe ich angefangen, ein paar Sätze in unserem Skript (die dem Leser als Übung überlassen wurden) zu beweisen.

Bei einem Satz habe ich noch Probleme.


Dazu folgende Definition:



Sei $G$ eine Gruppe. Der Exponent von $G$ ist die Menge $min \{ k \in \mathbb{N}_{> 0} \; \vert \; g^{k} = e\; \forall g \in G \}$



Satz:


Sei $G$ eine Gruppe mit $\vert G \vert = n$.


1) Der Exponent $m$ von $G$ ist das kgV der Ordnungen der Elemente von $G$

2) Falls $g^{k} = e\; \forall g \in G \Rightarrow m \mid k$

3) $m \mid n$




Ich bin etwas verwirrt, weil $Exp(G)$ ist der kgV der Ordnungen der Elemente von $G$, wenn 1) UND 2) erfüllt sind.

Deshalb empfinde ich es als sinnlos, die 2) getrennt beweisen zu müssen.



Ich habe versucht, die 1) folgendermaßen zu beweisen:



Beweis:

Zu 1)

Damit $m := Exp(G) = kgv (\{ Ord(g) \in \mathbb{N} \; \vert \; g \in G \})$ ist, muss $m$ folgende zwei Eigenschaften erfüllen:


(i) $Ord(g) \mid m\quad \forall g \in G$

(ii)  Für $k \in \mathbb{N}_{> 0}$ mit $Ord(g) \mid k\quad \forall g \in G$ gilt $m \mid k$


Zu (i)


Es gilt $g^{m} = e$. Daraus folgt, dass $Ord(g) \mid m\quad \forall g \in G$.

Also ist $m$ schon mal ein gemeinsames Vielfaches von der Ordnungen der Gruppenelemente.


Zu (ii)

Sei $k \in \mathbb{N}_{> 0}$ mit $Ord(g) \mid k\quad \forall g \in G$.

Es gilt auch $Ord(g) \mid m\quad \forall g \in G$..



Das heißt, es gibt $s_{g}, l_{g}$, so dass



$k = l_{g} \cdot Ord(g)\quad \forall g \in G$

$m = s_{g} \cdot Ord(g)\quad \forall g \in G$



Da $m$ das kleinste $k$ ist mit $g^{k} = e$ für alle $g \in G$, gilt $m \le k$.


Damit hat man $s_{g} \le l_{g}$.


$k = l_{g} \cdot Ord(g) = l_{g} \cdot \frac{m}{s_{g}} = \frac{l_{g}}{s_{g}} \cdot m$


Die Frage ist nun, ob $\frac{l_{g}}{s_{g}}$ eine natürliche Zahl ist, oder nicht.




Und hier habe ich momentan mein Problem und selbst nach genauerem Hinschauen, komme ich auf keine Lösung. Irgendwie scheine ich hier eine ganz miese Blockade zu haben.


Wie zeige ich, dass $\frac{l_{g}}{s_{g}}$ eine natürliche Zahl ist ? Oder wie sieht man das ?


Würde mich über eine Antwort freuen :)

lg, Carmen



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-05


2020-06-05 07:17 - Carmen_Wag im Themenstart schreibt:

Morgen :)
dito

Zu Übungszwecken habe ich angefangen, ein paar Sätze in unserem Skript (die dem Leser als Übung überlassen wurden) zu beweisen.

Bei einem Satz habe ich noch Probleme.


Dazu folgende Definition:



Sei <math>G</math> eine Gruppe. Der Exponent von <math>G</math> ist die Menge <math>min \{ k \in \mathbb{N}_{> 0} \; \vert \; g^{k} = e\; \forall g \in G \}</math>



Satz:


Sei <math>G</math> eine Gruppe mit <math>\vert G \vert = n</math>.


1) Der Exponent <math>m</math> von <math>G</math> ist das kgV der Ordnungen der Elemente von <math>G</math>

2) Falls <math>g^{k} = e\; \forall g \in G \Rightarrow m \mid k</math>

3) <math>m \mid n</math>




Ich bin etwas verwirrt, weil <math>Exp(G)</math> ist der kgV der Ordnungen der Elemente von <math>G</math>, wenn 1) UND 2) erfüllt sind.

Deshalb empfinde ich es als sinnlos, die 2) getrennt beweisen zu müssen.
Das kommt immer mal vor; vielleicht soll eine Aussage besonders betont werden.




Ich habe versucht, die 1) folgendermaßen zu beweisen:



Beweis:

Zu 1)

Damit <math>m := Exp(G) = kgv (\{ Ord(g) \in \mathbb{N} \; \vert \; g \in G \})</math> ist, muss <math>m</math> folgende zwei Eigenschaften erfüllen:


(i) <math>Ord(g) \mid m\quad \forall g \in G</math>

(ii)  Für <math>k \in \mathbb{N}_{> 0}</math> mit <math>Ord(g) \mid k\quad \forall g \in G</math> gilt <math>m \mid k</math>


Zu (i)


Es gilt <math>g^{m} = e</math>. Daraus folgt, dass <math>Ord(g) \mid m\quad \forall g \in G</math>.

Also ist <math>m</math> schon mal ein gemeinsames Vielfaches von der Ordnungen der Gruppenelemente.
O.K.



Zu (ii)
Sei <math>k \in \mathbb{N}_{> 0}</math> mit <math>Ord(g) \mid k\quad \forall g \in G</math>.

Es gilt auch <math>Ord(g) \mid m\quad \forall g \in G</math>..

Das folgende ist mir zu kompliziert. Es ist leicht zu verstehen, daß auch <math>g^{k}= e</math> für alle <math>g</math> gilt. Da <math>m</math> minimal mit dieser Eigenschaft ist, bietet es sich an Division mit Rest durchzuführen: <math>k= qm+r</math>. Was kannst Du über <math>g^{r}</math> aussagen? Was impliziert die minimale Wahl von <math>m</math>?



Das heißt, es gibt <math>s_{g}, l_{g}</math>, so dass



<math>k = l_{g} \cdot Ord(g)\quad \forall g \in G</math>

<math>m = s_{g} \cdot Ord(g)\quad \forall g \in G</math>



Da <math>m</math> das kleinste <math>k</math> ist mit <math>g^{k} = e</math> für alle <math>g \in G</math>, gilt <math>m \le k</math>.


Damit hat man <math>s_{g} \le l_{g}</math>.


<math>k = l_{g} \cdot Ord(g) = l_{g} \cdot \frac{m}{s_{g}} = \frac{l_{g}}{s_{g}} \cdot m</math>


Die Frage ist nun, ob <math>\frac{l_{g}}{s_{g}}</math> eine natürliche Zahl ist, oder nicht.




Und hier habe ich momentan mein Problem und selbst nach genauerem Hinschauen, komme ich auf keine Lösung. Irgendwie scheine ich hier eine ganz miese Blockade zu haben.


Wie zeige ich, dass <math>\frac{l_{g}}{s_{g}}</math> eine natürliche Zahl ist ? Oder wie sieht man das ?


Würde mich über eine Antwort freuen :)

lg, Carmen




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Carmen_Wag
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.05.2020
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Hallo!



Auch hier vielen Dank für deine Hilfe, ich denke, ich hab's!


Es ist $e = g^{k} = g^{q \cdot m + r} = g^{q \cdot m} + g^{r} = \left ( g^{m} \right )^{q} \cdot g^{r} = e \cdot g^{r} = g^{r}$ für alle $g \in G$.

Wir sehen, es gilt $g^{r} = e$ für alle $g \in G$.

Da $m$ minimal ist mit der Eigenschaft $g^{m} = e$ für alle $g \in G$, muss $r = 0$ gelten.

Aber dann ist $k = q \cdot m$ und somit gilt $m \mid k $.




Ich wünsche dir noch einen schönen Tag🙂

lg, Carmen



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