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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Summe aus Wurzeln
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Universität/Hochschule J Summe aus Wurzeln
Dachprodukt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-05


Hallo,

gerne ins richtige Unterforum verschieben. Ich konnte mich nicht entscheiden.

Ich habe folgende Summe vorliegen:
\[ \sqrt[3]{20 - \sqrt{392}} + \sqrt[3]{20 + \sqrt{392}}. \]
Ich weiß, dass die Summe den Wert 4 hat.

Nur würde ich gerne wissen, wie man auf dieses Ergebnis kommt...?
Was für Tricks und Methoden gibt es, um solche Summen "auf dem Papier" auszuwerten?

Ich freue mich auf eure Anregungen.

Liebe Grüße
Dachprodukt



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-05


Hallo Dachprodukt,
ich habe einfach mal drauf los gerechnet:
\[x= \sqrt[3]{20 - \sqrt{392}} + \sqrt[3]{20 + \sqrt{392}}. \] \[x^3=20 - \sqrt{392} + 20 + \sqrt{392}+3\sqrt[3]{(20 - \sqrt{392})^2 (20 + \sqrt{392})} + 3\sqrt[3]{(20 - \sqrt{392})(20 + \sqrt{392})^2}\] \[x^3=40+3\sqrt[3]{(20 - \sqrt{392}) (400-392)} + 3\sqrt[3]{(400 - 392)(20 + \sqrt{392})}\] \[x^3=40+6\sqrt[3]{20 - \sqrt{392}} + 6\sqrt[3]{20 + \sqrt{392}}\] \[x^3=40+6x\] \[x^3-6x-40=0\] \[(x-4)(x^2+4x+10)=0\] \[(x-4)((x+2)^2+6)=0\] Es folgt x = 4



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Dachprodukt
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Dabei seit: 28.12.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05


Hallo StrgAltEntf,

lieben Dank für deine Rechnung!

Das hat sich somit erledigt :-)

Gruß



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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

ein anderer Ansatz (der ein bisschen auf geschicktem Raten beruht):
Zunächst ist $\sqrt{392}=14\sqrt 2$.

Damit man die dritten Wurzeln los wird, liegt es nahe zu vermuten, dass es $a,b\in \IZ$ gibt so dass $(a+b\sqrt 2)^3 = 20+14\sqrt 2$ (und dann natürlich automatisch auch $(a-b\sqrt 2)^3 = 20-14\sqrt 2$).

Koeffizentenvergleich liefert $a^3+6ab^2=20$ und $3a^2b+2b^3=14$.
Man findet, dass $a=2,b=1$ ein Lösung ist ($a=1$ in der ersten Gleichung würde nicht funktionieren, $a=2$ könnte man als zweites probieren und es klappt).

Also folgt $\sqrt[3]{20 - \sqrt{392}} + \sqrt[3]{20 + \sqrt{392}} = (a-b\sqrt 2) + (a+b\sqrt 2) = 4$.

\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-05


Huhu,

hier kann man natürlich auch erstmal allgemein rechnen:

2020-06-05 15:57 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
\[x= \underbrace{\sqrt[3]{20 - \sqrt{392}}}_{:=a} + \underbrace{\sqrt[3]{20 + \sqrt{392}}}_{:=b}. \]

Dann ist \(x^3=(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3abx\)

Daraus folgt dann direkt

2020-06-05 15:57 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt: \[x^3=40+6x\]

durch einfache Kopfrechnung.

Gruß,

Küstenkind



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Dachprodukt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


Auch euch beiden sei gedankt für eure Rechenwege!

Beim Nachrrechnen bin ich kurz noch über \( x^3 = 40 + 6x \) gestolpert.

Mit etwas geschicktem Überlegen und Faktorisieren bin ich drauf gekommen, aber gibt es da auch eine analytische Lösung?

Die ursprüngliche Aufgabe ist aus der Lösung einer kubischen Gleichung entstanden.
Jetzt nochmal eine kubische Gleichung lösen zu müssen, wenn ich nicht geschickt überlegen möchte, kommt mir irgendwie etwas Spanisch vor...

Danke und liebe Grüße!
Dachprodukt



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-06


Huhu,

nun, kubische Gleichungen löst man mit Cardano, aber da landest du ja bei solchen Termen wie deiner. Es gibt das Rational root theorem, sodass du rationale Nullstellen (wenn sie existieren) schnell eingrenzen und testen kannst. Ansonsten hat Nuramon ja einen "Standardweg" bei solchen Aufgaben skizziert. Viele weitere solche Aufgaben findest du bei auch bei Stack-exchange, z.B. hier mit einer Antwort von Martin.

Gruß,

Küstenkind



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Dachprodukt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20 16:13


Hallo,

lieben Dank für deine Antwort.

Ich habe mich jetzt einige Tage mit dem Stackoverflow-Link beschäftigt und bin total in den Hasenbau gefallen.

Das Thema mit dem vereinfachen von Wurzeln ist noch viel tiefgründiger, als ich zunächst dachte. Super interessant!

Viele Grüße
Dachprodukt



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