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Mathematik » Stochastik und Statistik » Jedes schnittstabile Dynkinsystem ist eine Sigma-Algebra
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Universität/Hochschule Jedes schnittstabile Dynkinsystem ist eine Sigma-Algebra
JonasR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-05


Guten Abend.

Mich beschäftigt der Beweis des untenstehenden Satzes.



Der Satz lautet:

Jedes $\cap$ - stabile Dynkinsystem $D$ ist eine $\sigma$ - Algebra.




Der Prof hat den Satz so bewiesen:



Es ist nur das dritte $\sigma$ - Algebra - Axiom nachzuprüfen.


Seien also $A_{1}, A_{2}, \ldots \in D$.


Da ein Dynkinsystem komplementstabil ist, gilt $\overline{A_{1}}, \overline{A_{2}}, \ldots \in D$.

Nach Voraussetzung ist $D$ $\cap$ - stabil, also gilt $B_{n} := A_{n} \cap \bigcap\limits_{i = 1}^{n - 1} \overline{A}_{i} \in D$.


Daraus folgt:


$\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n} = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} \left ( A_{n} \cap \bigcap\limits_{i = 1}^{n - 1} \overline{A}_{i}   \right ) = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} B_{n} \in D$

nach Dynkinaxiom 3), da $B_{1}, B_{2}, \ldots$ paarweise disjunkt sind.


q.e.d




Dass $B_{1}, B_{2}, \ldots$ paarweise disjunkt sind, ist mir klar.


Ich verstehe aber nicht, warum $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n} = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} \left ( A_{n} \cap \bigcap\limits_{i = 1}^{n - 1} \overline{A}_{i}   \right )$ gilt.


Auch nach mehreren Stunden blicke ich immer noch nicht durch, weil ich mir das einfach nicht vorstellen kann...

Kann mir jemand in Worten erklären, warum die Gleichheit oben gilt ?


Wäre sehr dankbar dafür.


Gruß, Jonas



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

die Inklusion $\supseteq$ ist klar.
Für $\subseteq$: Sei $x\in \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n}$. Betrachte jetzt das minimale $i$ für das $x\in A_i$.
\(\endgroup\)


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Conny42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-05


Huhu JonasR,

die Mengen $B_n$ lassen sich auch schreiben als

$B_n = A_n \cap \overline{\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \right)} = A_n \backslash\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i\right)$.

Es wird also von $A_n$ nur der Teil hinzugenommen, der nicht schon in $A_1,...,A_{n-1}$ enthalten ist.

Die Inklusion $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_n \subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n$ ist wegen $B_n \subset A_n$ für alle $n\in\mathbb{N}$ erfüllt. Ist umgekehrt $x \in \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n$, so gibt es ein $m\in\mathbb{N}$ minimal, so dass $x \in A_m$, also...

Liebe Grüße,
Conny

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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JonasR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


Vielen Dank für eure Tipps, die haben mir sehr geholfen🤗

Ich habe mal den Beweis vollständig abgetippt, damit die anderen User in Zukunft ihn sehen können.


Behauptung:

 $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} B_{n} = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n} $



Beweis:

$\subseteq$


Sei $x \in B_{n}$, d.h. $x \in \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} B_{n}$, d.h. $x \in B_{1}$ oder $x \in B_{2}$ oder $\ldots $.


O.B.d.A nehmen wir an, dass $x \in B_{m}$ für ein $m \in \mathbb{N}$.


Es ist $x \in B_{m} =  A_{m} \setminus  \bigcup\limits_{i = 1}^{m - 1} A_{i}  $.


Es ist aber $A_{m} \setminus  \bigcup\limits_{i = 1}^{m - 1} A_{i}  \subseteq A_{m} \subseteq \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n}$

Also ist $x \in \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n}$.




$\supseteq$

Sei $x \in \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n}$, so gibt es ein minimales $m \in \mathbb{N}$, so dass $x \in A_{m}$.

Das heißt, dass $A_{m}$ die erste Menge ist, die $x$ enthält.


Dann ist $x$ aber dann logischerweise nicht in $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m - 1}$ enthalten.


Es gilt also $x \in A_{m} \setminus \bigcup\limits_{i = 1}^{m - 1} A_{i} = B_{m} \subseteq \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} B_{n}$




Ist das so in Ordnung ?


Viele Grüße und einen schönen Tag!



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