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Mathematik » Strukturen und Algebra » Satz aus dem MP-Artikel über den Rubik-Würfel
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Universität/Hochschule Satz aus dem MP-Artikel über den Rubik-Würfel
geeert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-05


Abend,

bin neulich auf den interessanten Artikel

(Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur) über die Mathematik des Rubik-Würfels gestoßen. Da gibt es ein Satz/Formel den/die ich nicht ganz durchblicke.

Es wird behauptet, dass die Cube Group - also die Gruppe $G= \langle F, B, L, R, U, D \rangle$, die durch die Drehungen des Cubes, die im Artikel eingeführt werden, erzeugt wird - die Ordung $\frac{8 ! \cdot^8 \cdot 12 ! \cdot 2^{12}}{2 \cdot 2 \cdot 3}$ hat.

Das "Argument" ist, dass man Permtationen und Orientierungen der Ecken und Kanten abzählt ($8!$ Permutationen der Ecken, $3^8$ mögliche Eckenorientierungen, $12!$ mögliche
Permutationen der Kanten, $2^12$ mögliche Kantenorientierungen)

Mit ist nicht klar wieso das hinhaut. Anscheinend werden mit dem Nenner $2 \cdot 2 \cdot 3$ die unmöglichen Fälle "ausgeschlossen", aber ich weiß nicht wie das korrekt begründet wird. Zumindest ich das für mich nicht offensichtlich.

Versteht jemand wie man das "sauber" begründet?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-06


Hallo geeert,
das der Nenner nicht größer als 2*2*3 sein kann, wird durch jeden der bekannten Lösungsalgorithmen bewiesen. Sie lösen jede Ausgangspermutation bis auf Drehen eines einzelnen Kantenwürfels, Drehen eines einzelnen Eckwürfels und Vertauschen eines einzelnen Würfelpaares. Da müsstest du dir einen solchen Lösungsalgorithmus aussuchen und dich davon überzeugen, dass am Ende die Ausrichtung vom letzten Kantenwürfel "automatisch" passt, ebenso die Ausrichtung vom letzte Eckwürfel und das Vertauschen der Position zweier Würfel (ohne dass Farben passen müssen) mindestens Vertauschen der Position zweier anderer Würfel zur Folge hat. Man kann mit so einem Lösungsalgorithmus mindestens Zähler/(2*2*3) Anfangspositionen lösen, also ist der Nenner höchstens 2*2*3.

Warum der Nenner nicht kleiner als 2*2*3 sein kann, dazu werden am Anfang des Artikels drei Cube-Gesetze genannt, ohne Beweis. Doch dazu sollte sich was finden lassen, das scheint der einfachere Teil des Beweises zu sein.

Alternativ, mit dem genannten GAP-Programm nachrechnen.

Viele Grüße,
  Stefan



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