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Lineare Algebra » Vektorräume » Menge b bestimmen, für die ein Untervektorraum vorliegt
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Universität/Hochschule Menge b bestimmen, für die ein Untervektorraum vorliegt
Bura
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-06


Die Aufgabe:

Es gibt 2 Vektorräume V und W und eine lineare Abbildung f: V --> W. Nun soll ich alle b e W bestimmen, für die die Menge f^-1((b)) ein Untervektorraum von V ist.

Bislang habe ich nur Aufgaben gesehen, wo man eine Eigenschaft auf Additivität und Homogenität überprüft und dann beweist, ob es sich um einen U-raum handelt.

Bin mir nicht sicher, wie ich an die Aufgabe herangehen soll.



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-06


Setze voraus, daß <math>U:= f^{-1}(b)</math> ein Unterraum von <math>V</math> ist. Dann hat <math>U</math> eine Reihe von Eigenschaften, aus denen sich Bedingungen an <math>b</math> ableiten lassen.
Beispielsweise folgt <math>b\in Bild(f)</math>, da <math>U</math> als VR nicht leer ist. Es lassen sich aber viel schärfere Aussagen treffen...

 



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-06

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Hallo Bura,

hier läuft es eigentlich auch nicht anders. Überprüfe:

i) Ist $0\in f^{-1}(b)$?
ii) Wenn $v,w\in f^{-1}(b)$, ist dann auch $v+w\in f^{-1}(b)$?
iii) Wenn $v\in f^{-1}(b)$, ist dann auch $\lambda v\in f^{-1}(b)$?

Du wirst natürlich merken, dass die drei Fragen im Allgemeinen mit nein beantwortet werden müssen. Du kannst dir dann aber überlegen, ob es Spezialfälle für $b$ gibt, sodass man doch alles mit ja beantworten kann.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-06

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2020-06-06 06:32 - Bura im Themenstart schreibt:
f^-1((b))
Geht es um das Urbild von $\{b\}$ oder um das Urbild des von $b$ erzeugten Unterraumes?
\(\endgroup\)


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Bura
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


Erst mal vielen Dank für die Antworten,

@Vercassivelaunos genau so, gehen ich sonst vor. Jedoch weiß ich nicht genau was f^-1((b)) ist.

Ist damit der Inverse Vektor gemeint?
Also a = (2,-5); a^-1 = (-2,5)




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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-06

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Achso. Dann ist das Problem ja nicht die Herangehensweise, sondern überhaupt zu verstehen, was die benannten Objekte sind. Für eine allgemeine Abbildung $f:A\to B$ und ein Element $b\in B$ bezeichnet man mit $f^{-1}(b)$ jene Teilmenge von $A$, die aus allen Elementen $a\in A$ besteht, welche auf $b$ abgebildet werden. Also $f^{-1}(b):=\{a\in A~\vert~f(a)=b\}$. Man nennt diese Menge auch das Urbild von $b$ unter $f$.
Ähnlich definiert man für eine Teilmenge $T\subseteq B$ das Urbild als die Menge $f^{-1}(T):=\{a\in A~\vert~f(a)\in T\}$, also alle Elemente von $A$, deren Bilder unter $f$ in $T$ liegen.
Deshalb auch Nuramons Frage, ob es sich um das Urbild von $\{b\}$, oder um das Urbild des von $b$ erzeugten Untervektorraums handelt (der wird manchmal mit $(b)$ bezeichnet, wobei ich eigentlich eher $\left<b\right>$ oder $\operatorname{span}(b)$ kenne). Wenn das bekannt ist, dann kannst du anfangen, deine Menge auf die Eigenschaften eines Untervektorraums zu überprüfen.
\(\endgroup\)


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Bura
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


Dankesehr für die Definition!

Vielleicht habe ich die Aufgabe falsch gestellt:







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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-07

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Das ist etwas unscharf. Sieht aber nach $(b)$ aus, also dem von $b$ erzeugten Unterraum. Aber es ist auch eigentlich egal, denn das Vorgehen, als auch das Ergebnis sind fast gleich.
Wenn du jetzt weißt, um was für ein Objekt es sich handelt, ist das weitere Vorgehen dann klar?
\(\endgroup\)


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