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Universität/Hochschule DGL mit Anfangsbedingung
RogerKlotz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-06


Hallo Zusammen,

ich möchte diese Aufgabe lösen:


Lösung der DGL:

\[y^{'} = \frac{-x^2}{y^3} \Rightarrow \int_{}^{} \! y^3 \, dy = \int_{}^{} \! -x^2 \, dx
\Rightarrow y=i\sqrt[4]{\frac{4}{3}x^{3}+C  } \]
Mit \(C\equiv c_{2}-c_{1}\)

Stimmt das Ergebnis?

Dann würde sich das für die Anfangsbedingungen ergeben:
i) \(y(0)=i\sqrt[4]{C}  \Rightarrow  \sqrt[4]{C}=-i\) Damit \(y(0)=1\)
ii)\(y(0)=i\sqrt[4]{C}  \Rightarrow  \sqrt[4]{C}=i\) Damit \(y(0)=-1\)

Ist das so korrekt und auch im Sinne des Aufgabenstellers beantwortet?

Wie verifiziere ich denn dann die Lösungen?
Wäre toll, wenn mir jemand meine Fragen beantworten kann.

LG



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

hm, was macht denn da die imaginäre Einheit vor der Wurzel?

Bis dahin ist deine Vorgehensweise korrekt, und wenn du das weglässt bekommst du als allgemeine Lösung zunächt einmal

\[y=\sqrt[4]{C-\frac{4}{3}x^3}\]
Der negative Summand unter der Wurzel führt einfach zu einer entsprechenden Einschränkung des Definitionsbereichs der Lösungsfunktion. Das hängt dann eben noch von \(C\) ab.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8796
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, noch ein Tipp:
 
Das \( C\) bestimmst du am besten, wenn du die Integration fertig hast:

\( \displaystyle \frac{y^4}{4}=-\frac{x^3}{3}+C\)

Jetzt \( x=0\) und \( y=1\) einsetzen: \( \D \frac{1}{4}=0+C\) und dann löst du
\( \D \frac{y^4}{4}=-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{4}\) einfach nach \( y\) auf. Und denk dran: das ist eine reelle Dgl, die hat eine reelle Lösung.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Mitteilungen: 1696
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle} \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2020-06-06 14:23 - Wally in Beitrag No. 2 schreibt:
Das \( C\) bestimmst du am besten, wenn du die Integration fertig hast:

Oder - als Alternative - kannst du natürlich auch gleich den Anfangswert einsetzen und bestimmt integrieren:

\(\displaystyle \int_1^y s^3 \, \dd s=-\int_0^x s^2 \, \dd s\)

Gruß,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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