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Universität/Hochschule Homologie berechnen
Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-06 18:01


Hallo Zusammen,

Ich habe gerade Probleme eine Methode zur Berechnung der Homologie nachzuvollziehen und daher auch Schwierigkeiten bei den darauf folgenden Rechnungen.

Zuerst zur Berechnung der Homologie:
Es soll \(H_n(\mathbb{S}^m \times \mathbb{S}^m) = \begin{cases} \mathbb{Z}^2 \ für \ n = m,0 \\ \lbrace 0 \rbrace \ sonst \end{cases}\) für \(m > 0\) gezeigt werden.
Da \(H_n(\mathbb{S}^m \times \mathbb{S}^m) = H_n(\mathbb{S}^m) \times H_n(\mathbb{S}^m)\) gilt, ist das eigentlich ziemlich einfach.

In meinem Text wird aber \(\mathbb{S}^m \times \mathbb{S}^m\) durch die Erzeuger \(A = [\mathbb{S}^m \times \lbrace p \rbrace]\) und \(B = [\lbrace p \rbrace \times \mathbb{S}^m]\) konstruiert, wobei \(p\) ein Punkt ist, und damit die Homologie berechnet, wie genau kommt man allerdings auf diese Äquivalenzklassen von Erzeugern und rechnet damit die Homologie?
Und liege ich richtig, dass ein Element z.B. in Äquivalenzklasse \(A\) wie folgt aussieht: \( (x,p) \in A\) mit \(x \in \mathbb{S}^m\) und \(p \in \lbrace p \rbrace\)?

Später wird dann \(0 = A \bullet A\) berechnet, was die Anzahl der Schnittpunkte bezeichnet:
Allerdings ist doch \(A \cap A = [\mathbb{S}^m \times \lbrace p \rbrace]\), also ist die Anzahl der Schnittpunkte \(\infty \neq 0\).
Oder geht das so, dass an einem \(A\) leicht gewackelt wird, denn dann würde gelten \(A \cap \tilde{A} = [X \times \emptyset]\), wobei \(X \subset \mathbb{S}^m\) und sollte nun gelten \(X \times \emptyset = \emptyset\) dann wäre die Anzahl der Schnittpunkte \(0\).
Ist der Gedanke von mir soweit richtig, beziehungsweise gilt denn die Aussage \(X \times \emptyset = \emptyset\)?

Wäre super, wenn ich dazu eine Rückmeldung bekommen würde, ich bin (sollte es mehrere verschiedene Fälle geben) auch mit einem Zufrieden.
Und im zweiten Teil reicht vielleicht schon eine Antwort auf die Frage zur Mengenlehre.
Danke und schönes Wochenende.

Grüße
Alif
 



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