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Strukturen und Algebra » Gruppen » Was ist ℝ/2πℤ?
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Universität/Hochschule J Was ist ℝ/2πℤ?
Lookingglassk_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-07


Hallo,

folgender Ausschnitt, aus meinem Skriptum:

Was ist \(S^{ 1 }\)? (Die vorhandene Definiton sagt mir leider nichts, vllt. hat jemand eine anschaulichere Erklärung)
Danke und lg




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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-07


Hallo, damit ist hier der Quotient der abelschen Gruppe $(\IR,+)$ nach der Untergruppe $2\pi\IZ = \{ 2\pi k\mid k\in \IZ\}$ gemeint. Die Elemente sind also Äquivalenzklassen $[x] = \{ x + 2\pi k\mid k\in\IZ\}$.

Eigentlich steht $S^1$ für den Kreis, die eindimensionale Sphäre, $S^1 = \{ x\in\IR^2\mid \lVert x\rVert_2 = 1\}$. Die (wegen der $2\pi$-Periodizität wohldefinierte) Abbildung $\IR/2\pi\IZ\to S^1, \,[x]\mapsto (\cos x, \sin x)$ ist bijektiv, und wenn man die Topologie auf $\IR/2\pi\IZ$ richtig definiert, sogar ein Homöomorphismus. Das erklärt vielleicht, warum man diese komische Gruppe ohne weiteres auch als "Kreis" betitelt.




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Lookingglassk_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07


Danke ligning,

also weil zb.: [1 + 2] = [3] = [1+ 2 + 4$\pi$] gilt, leigt auch kein affiner Raum vor oder?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-07


Vielleicht? Wenn das ein Beispiel dafür ist, dass es zwischen zwei Punkten mehrere "Verbindungsvektoren" gibt, dann ja.



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