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Universität/Hochschule Summenformel - Vermutung
carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-07 08:02


Hallo allerseits,
Bei der Beschäftigung mit einem Problem aus der WK-Theorie bin ich auf folgende Vermutung gestossen:
Für alle n>= 2 und a+b=1 und a \(\neq\)0 gilt:

$\sum\limits_{x_i \in \{a,b\}} \prod\limits_{i=1}^n x_i$ =
$\sum\limits_{x_i \in \{a,b\}} x_1 \cdot ... \cdot x_n = 1$                        


Beispiel mit a=1/4 und b=3/4 und n=2:
$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = 1$

Diese Vermutung von mir wird wahrscheinlich ein einfacher, bekannter Satz aus der Analysis sein.
Gibt es dazu einen einfachen Beweis?

mfg
cx



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-07 10:01


Hallo carlox,

wenn ich nichts übersehe, ist deine Summe einfach $(a+b)^n$ vollständig ausmultipliziert. Damit folgt aus $a+b=1$ natürlich sofort, dass die Summe gleich 1 ist.

Gruß,
David



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-07 10:03


Ja, das ist nichts neues.

Dein Beispiel zeigt mir, daß Du vermutlich mit der Formel etwas anderes meinst: <math>\sum_{x\in \{a,b\}^{n}} \prod_{i=1}^{n} x_{i}=1</math>; dabei ist <math>X:= \{a,b\}^{n}</math> die Menge der <math>n</math>-Tupel mit Einträgen aus <math>\{a,b\}</math>.

F\"ur <math>x\in X</math> bezeichne <math>p(x)= |\{i\in \{1,\ldots,n\}|x_{i}=a\}|</math> die Anzahl der Indices mit <math>x_{i}=a</math>.

Zwei einfache Beobachtungen sind:
1. F\"ur <math>x,y\in X</math> ist <math>\prod_{i=1}^{n} x_{i}=  </math>\prod_{i=1}^{n} y_{i}\iff p(x)= p(y)<math>.

2. F\"ur ganzes </math>0\leq k\leq n<math> gilt ist die Anzahl der </math>x\in X<math> mit </math>p(x)=k<math> genau gleich </math>\binom{n}{k}$.

Den Rest kriegst Du vermutlich selber hin...



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-08 09:27


2020-06-07 10:01 - DavidM in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo carlox,

wenn ich nichts übersehe, ist deine Summe einfach $(a+b)^n$ vollständig ausmultipliziert. Damit folgt aus $a+b=1$ natürlich sofort, dass die Summe gleich 1 ist.

Gruß,
David

Ja, wenn man $(a+b)^n$ vollständig ausmultipliziert, bekommt man eben alle Kombinationen, die möglich sind.

Dank an alle, die mitdiskutiert haben.

mfg
cx



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