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Universität/Hochschule J Stetigkeit mit offenen Mengen
Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-07


Hallo zusammen😃

In meinem Analysis-Übungsblatt bin ich auf folgende Aufgabe gestossen:

Sei $I\subseteq \mathbb{R}$ ein offenes Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion. Zeigen Sie, dass $f$ genau dann stetig ist, wenn für jede offene Menge $U\subseteq \mathbb{R}$ auch $f^{-1}(U)$ offen ist.

Nun nehmen wir an, dass $f$ eine stetige Funktion ist. Sei zudem $U\subseteq \mathbb{R}$ eine offene Menge. Wir beweisen, dass $f^{-1}(U)$ auch offen ist. Sei $x_0\in f^{-1}(U)$ und somit $f(x_0)\in U$. Weil $U$ offen ist, existiert ein $\varepsilon >0$, so dass $B(f(x_0),\varepsilon)\subseteq U$. Aufgrund der Stetigkeit von Funktion $f$ finden wir ein $\delta >0$, so dass $f(B(x_0,\delta)\subseteq B(f(x_0),\varepsilon)$.

An dieser Stelle komme ich nun leider nicht mehr richtig weiter. Habt ihr irgendwelche Vorschläge😁?



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-07


Hallo Sandrox,

du bist schon fast fertig. Du musst ja zeigen, dass eine hinreichend kleine offene Umgebung von $x_0$ in $f^{-1}(U)$ liegt. Zeige also, dass $B(x_0, \delta) \subseteq f^{-1}(U)$ ist.

Gruß,
David



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07


Könnte ich also argumentieren, dass aufgrund der Mengeninklusion $f(B(x_0,\delta)\subseteq B(f(x_0),\varepsilon)$ auch $f(B(x_0,\delta)$ in $U$ enthalten ist und somit der Ball $B(x_0,\delta)$ in $f^{-1}(U)$ enthalten ist. Damit haben wir für ein beliebiges $x_0$ eine offene Kreisscheibe gefunden, die vollständig in $f^{-1}(U)$ enthalten ist und damit die Offenheit von $f^{-1}(U)$ gezeigt.

Stimmt das😁?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-07


2020-06-07 11:31 - Sandrob in Beitrag No. 2 schreibt:
Stimmt das😁?

Hast du Zweifel? Falls ja, musst du es ausführlicher begründen.

Außerdem ist noch die andere Richtung der Aussage aus dem Themenstart zu beweisen.

Gruß
StrgAltEntf



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-08


Genau, die andere Richtung war für mich klarer🙂.

Nun Zweifel habe ich eigentlich nicht, denn falls $f(B(x_0,\delta))$ in $U$ enthalten ist, ist ja gerade aufgrund der Definition vom Urbild der Ball $B(x_0,\delta)$ in $f^{-1}(U)$ enthalten.

Oder mache ich hier einen Denkfehler🙄?



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-08


Ja, das ist richtig so.



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-08


Danke euch!😁



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