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Analysis » Grenzwerte » Grenzwert
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Universität/Hochschule Grenzwert
fibonacciiccanobif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-07


Hallo zusammen,

Grenzwerte von Folgen (in Banachräumen beispielsweise) sind ja eindeutig, falls existent. Wie schaut's allerdings aus, wenn eine Folge in einem normierten Raum konvergiert, der bezüglich dieser Norm vollständig ist und diese Folge weiters im selben Raum bezüglich einer zweiten Norm konvergiert, mit derer der Raum nicht vollständig ist ? Gilt dann immer noch die Gleichheit der Grenzwerte oder i.A. nicht ?

Danke im Vorhinein und liebe Grüße



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-07


Hallo,

hier ist ein Beispiel für eine Folge, die bezüglich zweier Normen jeweils gegen einen anderen Grenzwert konvergiert. Allerdings sind beide normierten Räume vollständig.



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fibonacciiccanobif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07


Danke dir



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Du kannst dir damit auch ein Beispiel basteln, bei dem nur einer der beiden Räume vollständig ist:
Nimm einen beliebigen Vektorraum $V$ auf dem du eine vollständige Norm und eine unvollständige Norm hast. Dann wandle das Beispiel, das ich verlinkt habe, ab indem du im Raum $V\times \ell^2$ die Folge $(0,x_n)$ betrachtest.
\(\endgroup\)


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fibonacciiccanobif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07


Alles klar, danke dir nochmals. Dann ist meine Aufgabe wohl doch komplizierter als zunächst vermutet 😃



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