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Universität/Hochschule Elementarteiler (Lösung verstehen)
Leyla2295
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-14


Hallo Matheplanet!


Ich schreibe morgen eine Klausur in Algebra und es ist sicher, dass eine ähnliche Aufgabe, wie die, die weiter unten steht, drankommt.
Die Aufgabe war mal eine Übungsaufgabe, aber ich hatte keine Zeit, mich richtig mit der Lösung zu beschäftigen, weil sofort das nächste Übungsblatt kam.
Jetzt sitze ich hier seit Stunden und verzweifle langsam daran, weil ich einfach nicht verstehe, wie sie auf die Lösung kommen bzw. auf welche Sätze man sich bezieht...

Hoffentlich kann mir jemand helfen🙁

Hier ist die Aufgabe.

a) Finden Sie für $G = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{48} \times \mathbb{Z}_{144} \times \mathbb{Z}_{1008}$ eine Darstellung wie in Satz 5.10.3)

b) Bestimmen Sie andersherum für $G = \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{7^{4}} \times \mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{7^{2}} \times \mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_{31} \times \mathbb{Z}_{47^{2}}  \times \mathbb{Z}_{997} \times \mathbb{Z}_{997^{3}} \times \mathbb{Z}^{2}$ eine Darstellung wie in 5.10. 2)

Lösung

Zu a)

man sieht schnell:

$ 2= 2^{1}$
$8 = 2^{3}$
$16 = 2^{4}$
$48 = 2^{4} \cdot 3$
$144 = 2^{4} \cdot 3^{2}$
$1008 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7$

Es gilt $2 \mid 8$, $8 \mid 16$, $16 \mid 48$, $48 \mid 144$, $144 \mid 1008$.

Damit gilt $G \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9} \times \mathbb{Z}_{7}$

Zu b)

Die Häufigkeit der einzelnen Primzahlen ist:

Primzahl:      3  7 11  31  47   997
Häufigkeit:    1  3  2   1   1    2

Da die höchste auftretende Häufigkeit $3$ ist, gibt es drei Elementarteiler $d_{i}$.

$d_{1} = 7^{1}$

$d_{2} = 7^{2} \cdot 11 \cdot 997$

$d_{3} = 7^{6} \cdot 11 \cdot 3 \cdot 31 \cdot 47^{2} \cdot 997^{3}$

Also gilt $G = \mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{7^{2} \cdot 11 \cdot 997} \times \mathbb{Z}_{7^{6} \cdot 11 \cdot 3 \cdot 31 \cdot 47^{2} \cdot 997^{3}} \times \mathbb{Z}^{2}$

Den Satz  5.10 poste ich hier natürlich auch:

Satz 5.10:

Sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe.

1) $G$ ist die direkte Summe von zyklischen Untergruppen

2) $\exists\quad 0 \le r \le m, d_{1}, \ldots, d_{r} \ge2, d_{i} \mid d_{i + 1}\quad \forall i = 1, \ldots, r - 1$ mit $G \cong \mathbb{Z}_{d_{1}} \times \ldots \times \mathbb{Z}_{d_{r}} \times \mathbb{Z}^{m - r}$

3) Es gibt Primzahlen $p_{1}, \ldots, p_{k}$ und $r_{1}, \ldots, r_{k} \ge 0$ mit

$G \cong \mathbb{Z}_{p_{1}^{r_{1}}} \times \ldots \times \mathbb{Z}_{p_{k}^{r_{k}}} \times \mathbb{Z}^{m - r}$.

Dabei sind $r, m, d_{i}, p_{i}, r_{i}$ bis auf Reihenfolge (und Einheiten) eindeutig bestimmt.


Was ich nicht verstehe ist:


1.) Wie kommt man bei a)  darauf, dass $G \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9} \times \mathbb{Z}_{7}$ ?

Aus welchem Satz  folgt das ? Und warum ist in diesem Fall $m = r$ ? Ich begreife das nicht..

2.) Wieso gibt es $3$ Elementarteiler, wenn die höchste auftretende Häufigkeit $3$ ist ? Gibt es hierfür einen Satz ?
Und wie kommt man auf die Elementarteiler ?

Es wäre super, wenn sich jemand melden könnte...

Gruß, Leyla



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-14


Hallo Leyla2295,

willkommen auf dem Matheplanet!

Das ist eigentlich ganz einfach.

Bei a) wird jedes \(\IZ_d\) in seine Bestandteile zerlegt. Und zwar ist \(\IZ_d\cong\IZ_a\times\IZ_b\), falls ggT(a,b) = 1 und ab=d. Beispielsweise ist \(\IZ_{60}\cong\IZ_3\times\IZ_4\times\IZ_5\), da 3*4*5=60 und 3, 4 und 5 paarweise teilerfremd sind. Achtung: \(\IZ_4\) lässt sich nicht weiter zerlegen! Mehr war bei a) nicht zu tun. (Dass 2∣8, 8∣16, 16∣48, 48∣144, 144∣1008 ist zwar schön, aber für diese Aufgabe überflüssig.)

Bei b) sollen die Bestandteile \(\IZ_{a_1}\), \(\IZ_{a_2}\), \(\IZ_{a_3}\), ... zu so wenig Bestandteilen \(\IZ_{d_i}\) wie möglich zusammengefasst werden. Zudem soll \(d_i\) jeweils ein Teiler von \(d_{i+1}\) sein.

"Wieso gibt es 3 Elementarteiler, wenn die höchste auftretende Häufigkeit 3 ist?"

Die vorkommenden Primzahlpotenzen müssen auf jeden Fall unterschiedlichen E'teilern zugeordnet werden. Da 3 Potenzen von 7 vorkommen (nämlich
\(7^1\), \(7^2\) und \(7^6\)), braucht man also mindestens 3 E'teiler. [Hier ist wahrscheinlich ein Tippfehler in der Aufgabe, wo es \(7^4\) statt \(7^6\) heißt.]

Aber mit 3 E'teilern kommt man auch aus. Weise jedem E'teiler für jede vorkommende Primzahl eine Potenz zu, und zwar von klein nach groß. (Wobei auch Potenzen mehrfach vorkommen können, wie bei der 11.)

\(d_1\) erhält also \(7^1\), \(d_2\) erhält \(7^2\) und \(d_3\) erhält \(7^6\).

Wenn nicht genug Potenzen einer Primzahl p vorhanden sind, fülle mit \(p^0\) auf.

Etwa für 11:
\(d_1\) erhält \(11^0\), \(d_2\) erhält \(11^1\) und \(d_3\) erhält \(11^1\).

"Und warum ist in diesem Fall m = r?"

Ist es das? m wäre hier 5, da r = 3 und 5 - r = 2.

Eine Anmerkung noch: Wenn eine Darstellung wie in 5.10.2 gesucht ist, muss ggf. zuvor in eine Darstellung wie in 5.10.3 umgewandelt werden. Das war hier bereits mit der Aufgabenstellung erledigt.



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Leyla2295
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-14


Hallo!

Oh mein Gott, danke, dass du dich meldest! 🙂 Dachte schon, ich wäre verloren...

Ich bemühe mich, deine Antwort zu verstehen und melde mich dann, wenn noch Unklarheiten bestehen!

Gruß, Leyla



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-14


2020-06-14 19:12 - Leyla2295 in Beitrag No. 2 schreibt:
Oh mein Gott, danke, dass du dich meldest! 🙂

Sag einfach StrgAltEntf zu mir 😄



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Leyla2295
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-14


Mache ich! Bin gleich so weit🙂



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Leyla2295
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-14



So, hallo nochmal!

Hat etwas lang gedauert, weil ich noch bei manchen Sachen überlegt habe und trotzdem nicht weiter gekommen bin.


Zu a)

Es ist:

$ 2 = 2^{1}$
$8 = 2^{3}$
$16 = 2^{4}$
$48 = 2^{4} \cdot 3$
$144 = 2^{4} \cdot 3^{2}$
$1008 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7$


Es gilt:

$\mathbb{Z}_{2} \cong \mathbb{Z}_{2}$ (klar)

$\mathbb{Z}_{8} \cong \mathbb{Z}_{8}$ (klar)

$\mathbb{Z}_{16} \cong \mathbb{Z}_{16}$ (klar)

$\mathbb{Z}_{48} \cong \mathbb{Z}_{2^{3}} \times \mathbb{Z}_{3}$ (da $ggT(2^{3}, 3) = 1$)

$\mathbb{Z}_{133} \cong \mathbb{Z}_{2^{4}} \times \mathbb{Z}_{3^{2}}$ (da $ggT(2^{4}, 3^{2}) = 1$)

$\mathbb{Z}_{1008} \cong \mathbb{Z}_{2^{4}} \times \mathbb{Z}_{3^{2}} \times \mathbb{Z}_{7}$ (da $ggT(2^{4}, 3^{2}, 7) = 1$)


Aber woher weiß ich genau, dass auch $G \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9} \times \mathbb{Z}_{7}$ ist ?


Vielleicht ist das ganz trivial, aber ich sehe es nicht🤔


Zu b)


Gegeben
_______

$G = \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{7^{4}} \times \mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{7^{2}} \times \mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_{31} \times \mathbb{Z}_{47^{2}}  \times \mathbb{Z}_{997} \times \mathbb{Z}_{997^{3}} \times \mathbb{Z}^{2}$


Gesucht
_______

Gesucht sind  $d_{1}, \ldots, d_{r} \ge 2$ $ (0 \le r \le m) $ mit $d_{i} \mid d_{i + 1}\quad \forall i = 1, \ldots, r - 1$ mit $G \cong \mathbb{Z}_{d_{1}} \times \ldots \times \mathbb{Z}_{d_{r}} \times \mathbb{Z}^{m - r}$

Vorgehensweise
_______________


Wir haben die Primzahlen $3,7,11,31,47,997$.

Wir bauen aus den oben vorhandenen Primzahlpotenzen unsere Elementarteiler.


Da am häufigsten die Primzahlpotenzen der $7$ vorkommt, gibt es mindestens $3$ Primteiler.

Wähle $d_{1} = 3^{0} \cdot 7^{1} \cdot 11^{0} \cdot 31^{0} \cdot 47^{0} \cdot 997^{0} $ .

Wähle dann  $d_{2} = 3^{0} \cdot 7^{2} \cdot 11^{1} \cdot 31^{0} \cdot 47^{0} \cdot 997^{1} $

Wähle dann  $d_{3} = 3^{1} \cdot 7^{4} \cdot 11^{1} \cdot 31^{1} \cdot 47^{2} \cdot 997^{3} $

______________________________________________________________________

Frage: Kann ich zu $d_{2}$ noch eine $3$ hinzufügen, obwohl die $3$ nur einmal vorkommt, oder nicht ? Was ergibt sich, wenn ich das trotzdem tue ?

Also, was wenn ich dann habe $d_{2} = 3 \cdot 7^{2} \cdot 11 \cdot 997$ und $d_{3} = 3 \cdot 7^{4} \cdot 11 \cdot 31 \cdot 47^{2} \cdot 997^{3}$ ?

______________________________________________________________________


Dann gilt $d_{i} \mid d_{i + 1}\quad$ für $ i = 1,2 $



Und hier das selbe:


Wie genau sehe ich, dass $G = \mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{7^{2} \cdot 11 \cdot 997} \times \mathbb{Z}_{7^{6} \cdot 11 \cdot 3 \cdot 31 \cdot 47^{2} \cdot 997^{3}} \times \mathbb{Z}^{2}$ ist ?


Freue mich auf eine weitere Antwort!


Gruß, Leyla



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-14


2020-06-14 21:48 - Leyla2295 in Beitrag No. 5 schreibt:
1) $\mathbb{Z}_{1008} \cong \mathbb{Z}_{2^{4}} \times \mathbb{Z}_{3^{2}} \times \mathbb{Z}_{7}$ (da $ggT(2^{4}, 3^{2}, 7) = 1$)

2) $\mathbb{Z}_{48} \cong \mathbb{Z}_{2^{3}} \times \mathbb{Z}_{3}$

3) $\mathbb{Z}_{133} \cong \mathbb{Z}_{2^{4}} \times \mathbb{Z}_{3^{2}}$

4) Aber woher weiß ich genau, dass auch $G \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9} \times \mathbb{Z}_{7}$ ist ?

... sieht gut aus ...

5) Frage: Kann ich zu $d_{2}$ noch eine $3$ hinzufügen, obwohl die $3$ nur einmal vorkommt, oder nicht ? Was ergibt sich, wenn ich das trotzdem tue ?

Also, was wenn ich dann habe $d_{2} = 3 \cdot 7^{2} \cdot 11 \cdot 997$ und $d_{3} = 3 \cdot 7^{4} \cdot 11 \cdot 31 \cdot 47^{2} \cdot 997^{3}$ ?

6) Wie genau sehe ich, dass $G = \mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{7^{2} \cdot 11 \cdot 997} \times \mathbb{Z}_{7^{6} \cdot 11 \cdot 3 \cdot 31 \cdot 47^{2} \cdot 997^{3}} \times \mathbb{Z}^{2}$ ist ?

1) Die Begründung ist hier nicht ganz korrekt. Wenn d = abc, dann ist \(\IZ_d\cong\IZ_a\times\IZ_b\times\IZ_c\), wenn a, b, c PAARWEISE teilerfremd sind. ggT(a, b, c) = 1 ist hier nicht ausreichend. (Dein Ergebnis stimmt aber.)

2) Hier muss es heißen \(\mathbb{Z}_{2^{4}} \times \mathbb{Z}_{3}\)

3) Hier muss es heißen $\mathbb{Z}_{144} \cong \mathbb{Z}_{2^{4}} \times \mathbb{Z}_{3^{2}}$

4) Wegen des Vorherigen gilt:
$G \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times (\mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{3}) \times (\mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9}) \times (\mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9} \times \mathbb{Z}_{7})$

Wenn es um Isomorhphie geht, gilt sozusagen das Assoziativgesetz. Man kann also die Klammern weglassen. (Man könnte sogar die einzelnen Faktoren beliebig vertauschen.) Nimm das am besten mal so hin. Der Beweis ist nicht schwer, aber nervig 🙃

5) Nein, das darfst du nicht. Du kannst spaßeshalber auf deine erhaltene (fehlerhafte) Darstellung die Aufgabe a) anwenden, und siehst dann, das etwas anderes herauskommt.

6) Wende auf die so erhaltene Darstellung Aufgabe a) an. Du wirst sehen, dass du zur ursprünglichen Darstellung zurück kommst.

Viel Erfolg bei deiner Klausur!



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Leyla2295
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-14


Oh, stimmt. Danke für die Korrektur. Da merkt man, dass ich langsam müde werde😁


2020-06-14 22:28 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6 schreibt:


4) Wegen des Vorherigen gilt:
$G \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times (\mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{3}) \times (\mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9}) \times (\mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9} \times \mathbb{Z}_{7})$

Wenn es um Isomorhphie geht, gilt sozusagen das Assoziativgesetz. Man kann also die Klammern weglassen. (Man könnte sogar die einzelnen Faktoren beliebig vertauschen.) Nimm das am besten mal so hin. Der Beweis ist nicht schwer, aber nervig 🙃




Genau das verstehe ich nicht so genau.

Es gilt zunächst (logischerweise)

$G \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{48} \times \mathbb{Z}_{144} \times \mathbb{Z}_{1008}$, weil

$G = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{48} \times \mathbb{Z}_{144} \times \mathbb{Z}_{1008}$


Aber es fällt mir schwer zu glauben, dass auch $G \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times (\mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{3}) \times (\mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9}) \times (\mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{9} \times \mathbb{Z}_{7})$ gilt.

Wenn also z.B. $\mathbb{Z}_{48} \cong \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{3}$,

 dann gilt auch $G \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times ( \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{3}) \times \mathbb{Z}_{144} \times \mathbb{Z}_{1008}$. Warum ?


Ich glaube mal damals in der Übung gehört zu haben, dass das am chinesischen Restsatz liegt. Aber vielleicht bringe ich etwas durcheinander.


2020-06-14 22:28 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6 schreibt:


5) Nein, das darfst du nicht. Du kannst spaßeshalber auf deine erhaltene (fehlerhafte) Darstellung die Aufgabe a) anwenden, und siehst dann, das etwas anderes herauskommt.

6) Wende auf die so erhaltene Darstellung Aufgabe a) an. Du wirst sehen, dass du zur ursprünglichen Darstellung zurück kommst.

Viel Erfolg bei deiner Klausur!

Ah, okay. Dann probiere ich das gleich mal aus!

Ich danke dir! Die Klausur ist erst um 15 Uhr. Hoffentlich bekomme ich heute noch was gebacken.🙂

Gruß, Leyla




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2020-06-14 23:06 - Leyla2295 in Beitrag No. 7 schreibt:
Wenn also z.B. $\mathbb{Z}_{48} \cong \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{3}$,

 dann gilt auch $G \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{16} \times ( \mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_{3}) \times \mathbb{Z}_{144} \times \mathbb{Z}_{1008}$. Warum ?

Ich glaube mal damals in der Übung gehört zu haben, dass das am chinesischen Restsatz liegt. Aber vielleicht bringe ich etwas durcheinander.

Mit dem chinesischen Restsatz hat das nichts zu tun. Es gilt allgemein:
Wenn \(G=A\times B\times C\) und \(B\cong D\), dann ist \(G\cong A\times D\times C\).

Wenn du da Zweifel hast, können wir das gerne noch mal im Nachgang besprechen.



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