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Universität/Hochschule Riemann'sche Summen berechnen
Sandrob
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  Themenstart: 2020-06-16

Hallo zusammen😄 In meiner Übungsserie für Analysis 1 muss ich ein Integral lediglich mit Riemann'schen Summen berechnen. Konkret handelt es sich dabei um die Funktion $f(x)=x$ auf dem kompakten Intervall $[a,b]$. Den Lösungsweg und alle Zwischenschritte verstehe ich eigentlich recht gut. Am Schluss komme ich jedoch nicht mehr ganz nach. Die Argumentation geht wie folgt: $\frac{b^2-a^2}{2}-\frac{(b-a)^2}{2n}=\int_{a}^{b} u_n dx\leq \sup U(f)=\int_{a}^{b} f dx=\inf O(f)\leq \int_{a}^{b} o_n dx=\frac{b^2-a^2}{2}+\frac{(b-a)^2}{2n}$ Weil $n$ beliebig gross sein kann, schliessen wir auf $\int_{a}^{b} f dx=\frac{b^2-a^2}{2}$. Diesen letzten Schritt verstehe ich schon irgendwie, aber er reicht mir nicht ganz aus😁. Könnte man hier zum Beispiel mit dem Archimedischen Axiom argumentieren? Vielen Dank für eure Hilfe und Antworten😉


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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-16

\quoteon(2020-06-16 14:29 - Sandrob im Themenstart) Hallo zusammen😄 In meiner Übungsserie für Analysis 1 muss ich ein Integral lediglich mit Riemann'schen Summen berechnen. Konkret handelt es sich dabei um die Funktion $f(x)=x$ auf dem kompakten Intervall $[a,b]$. Den Lösungsweg und alle Zwischenschritte verstehe ich eigentlich recht gut. Am Schluss komme ich jedoch nicht mehr ganz nach. Die Argumentation geht wie folgt: $\frac{b^2-a^2}{2}-\frac{(b-a)^2}{2n}=\int_{a}^{b} u_n dx\leq \sup U(f)=\int_{a}^{b} f dx=\inf O(f)\leq \int_{a}^{b} o_n dx=\frac{b^2-a^2}{2}+\frac{(b-a)^2}{2n}$ Weil $n$ beliebig gross sein kann, schliessen wir auf $\int_{a}^{b} f dx=\frac{b^2-a^2}{2}$. Diesen letzten Schritt verstehe ich schon irgendwie, aber er reicht mir nicht ganz aus😁. Könnte man hier zum Beispiel mit dem Archimedischen Axiom argumentieren? Vielen Dank für eure Hilfe und Antworten😉 \quoteoff Moin, was ist denn der Grenzwert der linken Seite der Ungleichungskette und der der rechten fuer $n \to \infty$? vg Luis


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Sandrob
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-16

Hallo luis52, Also eigentlich sollte es kein Grenzwert sein, sondern ein Ausdruck, der für alle $n\in \mathbb{N}$ erfüllt ist. Wahrscheinlich läuft dies aber auf das Gleiche hinaus, oder😁?


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luis52
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-16

\quoteon(2020-06-16 17:02 - Sandrob in Beitrag No. 2) Hallo luis52, Also eigentlich sollte es kein Grenzwert sein, sondern ein Ausdruck, der für alle $n\in \mathbb{N}$ erfüllt ist. Wahrscheinlich läuft dies aber auf das Gleiche hinaus, oder😁? \quoteoff Hm, dann ist mir nicht ganz klar, was dir nicht ganz klar ist. Ist es die Ungleichungskette oder der Schluss, dass $\int_{a}^{b} f(x) dx=\frac{b^2-a^2}{2}$?


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Sandrob
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-16

Die Ungleichungskette an sich leuchtet mir ein. Bei deinem beschriebenen Schluss habe ich jedoch noch ein bisschen Mühe. Also intuitiv macht es schon Sinn für mich, aber könnte man es noch ein bisschen formaler beweisen🤔?


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luis52
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-16

\quoteon(2020-06-16 17:34 - Sandrob in Beitrag No. 4) Die Ungleichungskette an sich leuchtet mir ein. Bei deinem beschriebenen Schluss habe ich jedoch noch ein bisschen Mühe. Also intuitiv macht es schon Sinn für mich, aber könnte man es noch ein bisschen formaler beweisen🤔? \quoteoff Hattet ihr ihr nicht so eine Beschreibung des R-Integrals, wonach $\int_{a}^{b} f dx$ existiert, wenn gilt $\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b} u_n dx=\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b} o_n dx$ und dass $\int_{a}^{b} f dx$ mit diesem Grenzwert uebereinstimmt? vg Luis


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Sandrob
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-17

Wir hatten das Riemann-Integral eigentlich folgendermassen eingeführt: Wir definieren dazu die Menge der Untersummen $U(f)$ und analog dazu die Menge der Obersummen $O(f)$. \[U(f)=\{\int_{a}^{b} u_n dx| u\in TF([a,b])\}\] und gleichermassen: \[O(f)=\{\int_{a}^{b} o_n dx| o\in TF([a,b])\}\] Eine beschränkte Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ heisst Riemann-integrierbar, falls $\sup U(f)=\inf O(f)$ gilt. In diesem Fall wird dieser gemeinsame Wert das Riemann-Integral von $f$ auf dem Intervall $[a,b]$ genannt. Wahrscheinlich ist dies aber eine äquivalente Definition oder?


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luis52
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  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-17

\quoteon(2020-06-17 13:02 - Sandrob in Beitrag No. 6) Eine beschränkte Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ heisst Riemann-integrierbar, falls $\sup U(f)=\inf O(f)$ gilt. In diesem Fall wird dieser gemeinsame Wert das Riemann-Integral von $f$ auf dem Intervall $[a,b]$ genannt. \quoteoff Erinnerst du dich an die alte Bauernregel: Gegeben seien zwei konvergente Folgen $(a_n)$ und $(b_n)$ mit $a_n\le b_n$ fuer beliebige $n$. Dann gilt $\lim a_n\le \lim b_n$. Betrachten wir $\inf O(f)$. Du hast die Ungleichung \[\frac{b^2-a^2}{2}-\frac{(b-a)^2}{2n}\le\inf O(f)\le\frac{b^2-a^2}{2}+\frac{(b-a)^2}{2n}\] fuer beliebige $n$. Zeige mit der Regel $\inf O(f)=\frac{b^2-a^2}{2}$. Argumentiere analog fuer $\sup U(f)$.


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Sandrob
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18

Ich bin noch nicht wirklich schlau geworden leider😁. Bis zu diesem Teil haben wir Folgen & Grenzwerte eigentlich noch gar nicht eingeführt in Analysis... Kannst du mir vielleicht ein bisschen auf die Sprünge helfen?


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luis52
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  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-18

Tut mir leid, jetzt weiss ich auch nicht weiter, muss passen. 🙁 vg Luis


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Hallo Sandrob, es ist tatsächlich etwas ungewöhnlich, dass ihr erst Integrale definiert, bevor ihr überhaupt Grenzwerte einführt, deshalb wahrscheinlich luis52s Ansatz über Folgen. Aber es geht auch ohne. Es sind also $\sup U(f)$ und $\in O(f)$ zu bestimmen, und deren Gleichheit nachzuweisen. Letzteres können wir einfach ablesen, sobald wir die Werte bestimmt haben, also können wir uns darauf konzentrieren, $\sup U(f)$ und $\inf O(f)$ zu bestimmen. Dafür stellen wir zunächst einmal die Vermutung an, dass $\sup U(f)=\inf O(f)=\frac{b^2-a^2}{2}$. Das ist aufgrund der gegebenen Abschätzungen naheliegend. In etwas ausführlicherer Formulierung haben wir zwei Abschätzungen: \[\begin{equation*}\frac{b^2-a^2}{2}-\frac{(b-a)^2}{2n}\leq \sup U(f)\leq\frac{b^2-a^2}{2}+\frac{(b-a)^2}{2n},\\ \frac{b^2-a^2}{2}-\frac{(b-a)^2}{2n}\leq \inf O(f)\leq\frac{b^2-a^2}{2}+\frac{(b-a)^2}{2n}, \end{equation*}\] jeweils für alle $n\in\N$. Wir nehmen uns mal die Abschätzung für $\sup U(f)$ heraus, um damit $\sup U(f)$ zu bestimmen. Für $\inf O(f)$ kann man dann exakt gleich vorgehen, da ja die Abschätzung gleich ist. Zunächst einmal betrachten wir $\frac{b^2-a^2}{2}-\frac{(b-a)^2}{2n}\leq \sup U(f)$ für alle $n\in\N$. Wie du es schon im Eingangspost vermutet hast, können wir mit dem archimedischen Axiom zeigen, dass daraus schon $\frac{b^2-a^2}{2}\leq\sup U(f)$ folgt. Dafür reicht es zu zeigen, dass $\sup U(f)-\frac{b^2-a^2}{2}\geq0$. Das ist gleichbedeutend damit, dass $\sup U(f)-\frac{b^2-a^2}{2}$ größer als jede negative Zahl ist. Da $\sup U(f)-\frac{b^2-a^2}{2}\geq-\frac{(b-a)^2}{2n}$ für alle $n\in\N$, reicht es also, für jede negative Zahl $x<0$ ein $n\in\N$ zu finden, sodass $-\frac{(b-a)^2}{2n}>x$ ist. Das kriegst du mit Hilfe des archimedischen Axioms selber hin. Die Abschätzung nach oben, sodass man $\frac{b^2-a^2}{2}\leq\sup U(f)\leq\frac{b^2-a^2}{2}$ erhält, sowie die entsprechende Abschätzung für $\inf O(f)$ verlaufen dann analog. Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)


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Sandrob
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18

Hallo Vercassivelaunos, Ja, bei uns wird zuerst das Riemann-Integral eingeführt und erst danach der Abschnitt Folgen & Grenzwerte. Danke für deine ausführliche Antwort. Zunächst muss ich vielleicht nochmals nachfragen, welche Formulierung du vom Archimedischen Axiom meinst? Also ich glaube hier brauche ich das Korollar, dass es für alle $n\in \mathbb{N}$ ein $\varepsilon >0$ gibt, mit $\frac{1}{n}<\varepsilon$. Vielleicht ist meine Frage sehr grundlegend, aber kann man damit eigentlich zeigen, dass der Bruch $\frac{1}{n}$ beliebig klein wird, aber halt trotzdem nie ganz null? Weil dann verstehe ich nicht ganz, wie man dann den Ausdruck $-\frac{(b-a)^2}{2n}$ einfach so wegbekommt🤔?


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.12, eingetragen 2020-06-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Ich habe an die Formulierung gedacht, dass für positive reelle Zahlen $xy$. Um diese Formulierung musst du die Ungleichung $-\frac{(b-a)^2}{2n}>x$ einfach nur mit $-n$ multiplizieren, dann steht es schon so da, wie es das archimedische Axiom sagt. Was dein Korrolar angeht: Das könnte man hier auch benutzen. Und was du "zeigen" möchtest, also dass $\frac{1}{n}$ beliebig klein wird, das ist nicht zu zeigen. Das ist nämlich gerade die Aussage des Korrolars, wenn man es statt einer Ungleichung in Worte fasst.\(\endgroup\)


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