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| Autor |
  Implizite Gleichung |
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Shurian
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 102
Wohnort: Heidelberg
 |  Themenstart: 2020-06-20
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Hallo,
ich soll folgende Aussage zeigen:
Sei $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ stetig differenzierbar. In einem Punkt $x^0 = (x_1^0, x_2^0, x_3^0)^T \in \mathbb{R}^3$ gelte
$$ \prod_{i=1}^3 \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0) \neq 0$$
Weiter sei $g_i: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ eine lokale Auflösung der Gleichung
$$f(x_1,x_2,x_3) = f(x^0)$$
nach $x_i$, $i = 1,2,3$. Man zeige, dass dann
$$\frac{\partial g_1}{\partial x_2}(x_2^0, x_3^0) \cdot \frac{\partial g_2}{\partial x_3}(x_1^0, x_3^0) \cdot \frac{\partial g_3}{\partial x_1}(x_1^0, x_2^0) = -1$$
Die lokale Auflösung der obigen Gleichung durch die Funktionen $g_i$ bedeutet doch $g_1(x_2^0,x_3^0) = x_1^0,\; g_2(x_1^0,x_3^0) = x_2^0,\; g_3(x_1^0,x_2^0) = x_3^0$. Ich habe das dann in das obige Produkt eingesetzt und probiert die Kettenregel anzuwenden, komme da aber leider etwas durcheinander. Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße, Shurian
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-21
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Huhu Shurian,
das ist doch einfach implicit function theorem. Siehe auch hier ab 4:40. Als Beispiel:
\(\displaystyle \frac{\partial g_1}{\partial x_2}(x_2^0, x_3^0)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1^0,x_2^0,x_3^0)}{\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1^0,x_2^0,x_3^0)}\)
Sonnige Grüße aus dem Norden,
Küstenkind
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Shurian
Wenig Aktiv
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 102
Wohnort: Heidelberg
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-21
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Hi Kuestenkind,
erstmal danke für die Hilfe. Mir ist leider etwas unklar wie genau man auf diese Gleichung kommt, ich glaube ich verstehe den Satz in dieser Hinsicht nicht wirklich so gut, da in dem von dir verlinkten Wikipedia-Artikel ja mit einer zweiwertigen Funktion $F(x,y)$ differenziert wird, $f$ aber hier vom $\mathbb{R}^3$ nach $\mathbb{R}$ geht? Könntest du vielleicht etwas genauer erläutern wie man darauf kommt?
Grüße, Shurian
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-21
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Huhu Shurian,
ich weiß nicht wirklich, was ich da noch genau erklären soll. Das ist doch einfach die Kettenregel und genau die Formel, die Dr. Aviv Censor im Video auch erklärt. Nun ja:
Du hast die Auflösung \(x_1=g_1(x_2,x_3)\). Damit: \(f(g_1,x_2,x_3)=0\). Das wird nun nach \(x_2\) differenziert:
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot \frac{\partial g_1}{\partial x_2}+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cdot 1=0 \iff \frac{\partial g_1}{\partial x_2}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x_2}}{\frac{\partial f}{\partial x_1}}\)
Deine zweite Auflösung ist \(x_2=g_2(x_1,x_3)\). Damit: \(f(x_1,g_2,x_3)=0\). Das wird nun nach \(x_3\) differenziert:
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_2}\cdot \frac{\partial g_2}{\partial x_3}+\frac{\partial f}{\partial x_3}\cdot 1=0 \iff \frac{\partial g_2}{\partial x_3}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x_3}}{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\)
Da Sonntag-Abend ist und ich gerade schreibfaul bin, habe ich Argumente nun mal weggelassen. Die dritte Ableitung schaffst du sicherlich alleine. Danach kürzt sich alles weg und du hast dein gewünschtes Ergebnis.
Gruß,
Küstenkind
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Shurian
Wenig Aktiv
Dabei seit: 30.11.2019
Mitteilungen: 102
Wohnort: Heidelberg
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-21
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Hi Kuestenkind,
danke dir, jetzt hab ichs verstanden :)
Grüße, Shurian
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