| |
| Autor |
 Taylorpolynom einer Potenzreihe |
|
MaRehr
Junior 
Dabei seit: 24.06.2020
Mitteilungen: 5
Wohnort: Bochum, Deutschland
 |  Themenstart: 2020-06-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IQ}{\sum_{}^{}}
\newcommand{\IQ}{\frac{}{}}
\)
Hallo Ihr Lieben!
Ich lerne gerade für Analysis 2 und sitze nun an einer freiwilligen Übungsaufgabe, für welche ich allerdings keinen weiterbringenden Ansatz finde. Vielleicht wisst ihr ja weiter.
Sei eine Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( \sum_{n=0}^{ \infty } a_n x^n \). Wie sieht das Taylorpolynom vom Grad n in 0 aus?
Ich dachte zunächst daran, die n-te Ableitung der Funktion aufzustellen und dann ganz normal die Taylorreihe aufzustellen.
Allerdings wären dann alle Summanden der Taylorreihe gleich nur, da der Entwicklungspunkt 0 sein sollte.
Hat jemand eine Idee?
Liebe Grüße,
MaRehr
\(\endgroup\)
|
 Profil
|
Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Überlege dir doch einmal, welche Reihenglieder an der Stelle \(x=0\) nicht verschwinden...
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Taylorentwicklungen' von Diophant]\(\endgroup\)
|
Profil
|
MaRehr
Junior
Dabei seit: 24.06.2020
Mitteilungen: 5
Wohnort: Bochum, Deutschland
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IQ}{\sum_{}^{}}
\newcommand{\IQ}{\frac{}{}}
\)
Hallo Diophant!
Das einzige Glied, was nicht verschwindet ist doch das erste bei n=0? Dann wäre die Taylorreihe ja einzig und allein \( a_0 \) plus das Restglied, sehe ich das richtig?
Liebe Grüße,\(\endgroup\)
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,
\quoteon(2020-06-24 12:27 - MaRehr in Beitrag No. 2)
Hallo Diophant!
Das einzige Glied, was nicht verschwindet ist doch das erste bei n=0? Dann wäre die Taylorreihe ja einzig und allein \( a_0 \) plus das Restglied, sehe ich das richtig?
Liebe Grüße,
\quoteoff
Ja, so ist das wohl gemeint. Wobei das Restglied ja nicht Bestandteil des Taylorpolynoms ist und desweiteren hier ja ganz offensichtlich gleich Null.
Also meiner Meinung nach reicht hier als Antwort "\(a_0\)".
EDIT: das gilt nur, wenn man die Aufgabe so versteht, dass im Prinzip \(f(0)\) betrachtet wird. Da hatte ich die Aufgabensatellung falsch interpretiert, sorry. Siehe dazu die folgenden Beiträge.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
|
Profil
|
MaRehr
Junior
Dabei seit: 24.06.2020
Mitteilungen: 5
Wohnort: Bochum, Deutschland
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IQ}{\sum_{}^{}}
\newcommand{\IQ}{\frac{}{}}
\)
Okay, wobei bei den Ableitungen ja immer ein höheres \( a_n\) übrig bleibt, sodass für die Talorreihe dann \(a_0 + \frac{a_1}{1!} + \frac{a_2}{2!}...\) übrig bleibt?
Dazu muss meine Ableitung aber richtig sein...:
falls der Faktor \( a_n \) nicht von n abhängt ist die Ableitung von \( f(x) \): \( \frac{d f(x)}{dx} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n x^{n-1} \), richtig? Ableiten funktioniert ja summenweise, weshalb das so funktionieren müsste, wobei die Summe dann bei 1 starten muss, da sonst der Faktor \( x^{-1} \) enthalten wäre, was bei \( x=0 \) nicht definiert ist?
Das einzige Reihenglied ungleich null wäre bei n=1
Analog für die weiteren Ableitungen?
Sehe ich das richtig, oder habe ich einen Denkfehler?
Liebe Grüße,\(\endgroup\)
|
Profil
|
Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
 | Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\H}{\mathbb{H}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo MaRehr,
falls ihr es nicht sogar schon gezeigt habt, dann ist doch eine naheliegende Vermutung, dass die Taylorreihe einer Potenzreihe gerade die Potenzreihe selbst ist, da die Taylorreihe ja selbst eine Potenzreihe ist. Die implizite Annahme dahinter ist, dass zwei Potenzreihen um denselben Entwicklungspunkt dann gleich sind, wenn ihre Koeffizienten alle gleich sind. Das müsste man zwar erst beweisen, aber intuitive Vermutungen über das Ergebnis der Aufgabe kann man auf der Grundlage ja trotzdem aufstellen.
Das $n$-te Taylorpolynom ist dann einfach die $n$-te Partialsumme der Taylorreihe. Wenn die Vermutung "Taylorreihe = Potenzreihe" stimmt, dann könnte man also das Taylorpolynom direkt ablesen:
\[T_nf(x;0)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\]
Entsprechend müsste man vermuten, dass die $k$-te Ableitung von $f$ an der Stelle einfach nur $f^{(k)}(0)=k!a_k$ ist.
Vielleicht fällt dir die Berechnung des Taylorpolynoms leichter, wenn du diese Vermutung als Ziel vor Augen hast.
Damit ist übrigens $a_0$ nur die korrekte Antwort für $n=0$. Für die Taylorpolynome höheren Grades müssen noch mehr Terme dazukommen.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
|
Profil
|
Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,
deine Funktion ist doch als beliebig oft differenzierbare Potenzreihe gegeben, d.h. Potenzreihe und Taylorreihe stimmen überein.
Beim Ableiten begehst du den Fehler, die jeweils vorgezogenen Exponenten unter den Tisch fallen zu lassen. So kommst du hier fälschlicherweise auf eine neue Reihendarstellung. Wenn du also hier korrekt die Taylorreihe entwickelst, dann kommt doch eben genau die gegebene Potenzreihe wieder heraus.
@Vercassivelaunos:
\quoteon(2020-06-24 13:09 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 5)
Damit ist übrigens $a_0$ nur die korrekte Antwort für $n=0$. Für die Taylorpolynome höheren Grades müssen noch mehr Terme dazukommen.
\quoteoff
Hm, es geht ja laut Themenstart explizit um die Stelle \(x=0\), und dort verschwinden die weiteren Summanden doch alle. Oder verstehst du die Aufgabenstellung anders?
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]\(\endgroup\)
|
Profil
|
Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\H}{\mathbb{H}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
\quoteon(2020-06-24 13:10 - Diophant in Beitrag No. 6)
Hm, es geht ja laut Themenstart explizit um die Stelle \(x=0\), und dort verschwinden die weiteren Summanden doch alle. Oder verstehst du die Aufgabenstellung anders?
\quoteoff
Ich verstehe die Aufgabe so, dass man das Taylorpolynom im Entwicklungspunkt $x=0$ angeben soll (da gehören eben auch Terme höherer Ordnung dazu), und nicht die Auswertung dieses Polynoms an der Stelle $x=0$ (da würde wie du sagst nur das Absolutglied $a_0$ übrigbleiben).\(\endgroup\)
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-24
|
@Vercassivelaunos:
Ok, dann bleiben wir mal bei deiner Lesart (da billige ich dir mehr Erfahrung zu 😉).
Ich hatte diesen Satz:
\quoteon(2020-06-24 12:13 - MaRehr im Themenstart)
Wie sieht das Taylorpolynom vom Grad n in 0 aus?
\quoteoff
dann falsch verstanden. Jetzt wo ich darüber nachdenke macht meine Interpretation auch für mein Gefühl keinen Sinn mehr.
Gruß, Diophant
|
Profil
|
| MaRehr hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. | | MaRehr wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
