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 Implizite Funktionen |
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EuskiPeuski712
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 91
 |  Themenstart: 2020-06-25
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Hey Leute,
folgendes Anliegen. Gegeben sei die Funktion z³+z=1+xy. Ich konnte bereits mithilfe des Satzes über implizite Funktionen zeigen, dass es eine eindeutige Lösung z=g(x,y) gibt. Dazu konnte ich so umformen, dass gilt:
0=1+xy-z³-z
Dies gilt für den Punkt (1,1,1), sodass gilt:
F(1,1,1)=0 für F(x,y,z)=1+xy-z³-z
Nun soll gezeigt werden, dass g:R² -> R total differenzierbar ist.
Dazu habe ich auch versucht, mithilfe des bereits erwähnten Satzes heranzugehen, der ja eine explizite Bildungsvorschrift für g' vorgibt:
g'(x,y)=-F'_z(x,y,z)^(-1)*F'_x,y(x,y,z)
Hier meine Jacobi-Matrix für F'
F'(x,y,z)=(y,x,-3z^2-1)
Das ganze nun eingesetzt würde nun folgendes ergeben:
g'(x,y)=(3z^2+1)^(-1)*(y,x)
Das ganze wäre ja dann aber eine Abbildung in den \IR^2 statt wie gefordert g:\IR^2->\IR
Hab ich da einen Denkfehler ?
Bzw. kann ich g' so überhaupt darstellen oder kann ich g' nur am Punkt (1,1,1) auswerten ?
Ich hoffe mein Anliegen konnte ich einigermaßen klar darstellen und würde mich über Hinweise freuen :)
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EuskiPeuski712
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-25
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Hier noch ein kurzer Gedanke meinerseits:
Damit ihr nachvollziehen könnt, wie ich auf die obige Formel komme, hier so wie wir sie notiert haben:
g'(x)=-(F'_y(x,y))^(-1)*F'_x(x,y)
Nun war ja meine Idee, dass F'_x(x,y) in dem Beispiel eben F'_x,y(x,y,z) ist.
Aber kann es sein, dass ich dann die Funktion F(x,y,z)=1+xy-z^3-z für F'_x,y gleichzeitig nach x und y ableiten muss ?
Dann würde ich erhalten F'_x,y(x,y,z)=1
Dann würde ich nämlich auch eine Abbildung g':\IR^2->\IR erhalten.
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Kuestenkind
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| Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-25
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Huhu EuskiPeuski712,
\quoteon(2020-06-25 17:38 - EuskiPeuski712 im Themenstart)
F(1,1,1)=0 für F(x,y,z)=1+xy-z³-z
\quoteoff
das ist ein Punkt von drei Punkten, den du für das Theorem brauchst. Siehe Dr. Aviv Censor hier ab 4:40. Wie du siehst, garantiert das Theorem dann auch eine \(C^1\) Funktion, womit du dann fertig bist.
Viel Erfolg!
Gruß,
Küstenkind
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EuskiPeuski712
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-25
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Danke erst einmal für deine Antwort.
Das die Funktion dann stetig differenzierbar war, habe ich auch gesehen. Das Problem ist nur, dass ich in der nächsten Teilaufgabe dann die Funktion g auf Extrempunkte untersuchen soll. Daher bin ich ja auf die Ableitung von g angewiesen.
Und auch in dem Video (was übrigens zum Verständnis wirklich hilfreich ist), hat er ebenfalls lediglich die partielle Ableitung nach x und einmal nach (in der Gleichung des Videos) nach y genutzt und hat die dritte Variable z einfach außen vorgelassen. Das ist mir nicht ganz schlüssig
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-25
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Hmm, also ist \((1,1,1)\) überhaupt nicht vorgegeben in der Aufgabenstellung?
Wieso kannst du nicht einfach gleich die genaue Aufgabenstellung (und zwar komplett) hier angegeben? Das verstehe ich nicht.
Küstenkind
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EuskiPeuski712
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-25
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Okay, ich schreibe es hier nochmal kurz auf:
Die Gleichung z^3+z=1+xy hat für jedes (x,y)\el\ \IR^2 genau eine Lösung z=g(x,y)\el\ \IR
Die Aufgabe:
(1) Begründen sie, dass g:\IR^2->\IR total differenzierbar ist
(2) Untersuchen sie g auf Extrema
Den Punkt (1,1,1) habe ich mir selber gesucht, da ich ja einen Punkt brauchte, der diese Gleichung F(x,y,z)=0 erfüllt.
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-25
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Und wieso schreibst du das nicht gleich hin, sondern wirfst irgendwelche Sachen in den Raum, die du dir selbst ausgedacht hast? Tut mir leid - da vergeht mir die Lust. Nun ja - ich kann dir noch ein Anfang aufschreiben:
Es geht also um die Funktion \(f(x,y,z)=1+xy-z^3-z\). Die Funktion ist offensichtlich \(C^1\). Es ist \(f_z=-3z^2-1<0\neq 0\). Für alle \((x_0,y_0,z_0)\) mit \(f(x_0,y_0,z_0)=0\) existiert also nach dem implicit function theorem eine Funktion \(z=g(x,y) \in C^1\).
Für (2) musst du nun eben \(\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)\) sowie\(\frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0)\) bestimmen und wie gewohnt gleich Null setzen.
Viel Erfolg und noch einen schönen Abend.
Gruß,
Küstenkind
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EuskiPeuski712
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-25
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Kann man da nicht trotzdem ganz normal antworten ?
Warum muss man da gleich so pampig reagieren. Dafür habe ich nun wiederum kein Verständnis.
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3810
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-27
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Hallo
\quoteon(2020-06-25 19:52 - EuskiPeuski712 in Beitrag No. 5)
Okay, ich schreibe es hier nochmal kurz auf:
Die Gleichung z^3+z=1+xy hat für jedes (x,y)\el\ \IR^2 genau eine Lösung z=g(x,y)\el\ \IR
Die Aufgabe:
(1) Begründen sie, dass g:\IR^2->\IR total differenzierbar ist
(2) Untersuchen sie g auf Extrema
Den Punkt (1,1,1) habe ich mir selber gesucht, da ich ja einen Punkt brauchte, der diese Gleichung F(x,y,z)=0 erfüllt.
\quoteoff
Die erste Aufgabe habt ihr ja bereits geklärt.
Um ehrlich zu sein, bin ich mir gar nicht so sicher, dass man die Ableitungen berechnen muss, da $h\colon \mathbb R\to \mathbb R$ streng monoton wachsend ist. Somit ist auch $h^{-1}$ streng monoton wachsend. Kannst du das zeigen? Das bedeutet aber auch, dass $g$ genau dort ihre lokalen Extrema hat, wo auch $(x,y)\mapsto 1+xy$ ihre lokalen Extrema hat. Warum?
Du kannst auch direkt mit $g$ arbeiten. Für alle $(x,y)\in\mathbb R^2$ gilt
\[(g(x,y))^3+g(x,y)=1+xy.\]
Durch Ableiten nach $x$ folgt
\[\Big(3(g(x_0,y_0))^2+1\Big)\cdot\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)=y_0.\]
Solche Rechnungen fallen mir persönlich leichter als Formeln für die impliziten Ableitungen zu lernen.
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