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Differentiation » Mehrdimensionale Differentialrechnung » minimaler Abstand von Ellipse mit Lagrange-Multiplikatoren
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Universität/Hochschule J minimaler Abstand von Ellipse mit Lagrange-Multiplikatoren
Shurian
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  Themenstart: 2020-06-26

Guten Abend Leute! Ich habe folgendes Problem: Sei $P = \{(x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3\; |\; x+y-z=1\}$ und $Z = \{(x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3\; |\; x^2+y^2 = 1\}$. $Z$ schneidet $P$ in einer Ellipse. Man bestimme den minimalen quadratischen euklidischen Abstand dieser Ellipse zum Ursprung mithilfe von Lagrange-Multiplikatoren. Also meine Zielfunktion ist ja, wenn ich richtig verstehe, $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$, diese soll also minimal werden. Die Ellipse ist dann $E = \{(x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3\; |\; x^2+y^2 = 1 \; \text{und}\; x+y-z=1\}$. Als Nebendingung erhalte ich ja dann die Funktion $$g(x,y,z) = \begin{pmatrix} x+y-z-1\\ x^2+y^2-1 \end{pmatrix}.$$ Jetzt weiß ich leider irgendwie nicht so recht wie ich weitermachen soll. Über Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar Grüße, Shurian

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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-26

Hallo Shurian, letztendlich hast du ja zwei Nebenbedingungen, da braucht es dann einfach auch zwei Lagrange-Multiplikatoren (was dann auf ein 5x5-Gleichungssystem führt). Vielleicht hilft dir diese Idee ja schon? Ansonsten wäre es nicht schlecht, wenn du ein wenig ausführen könntest, woran es hängt. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]

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Shurian
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-26

Hi Diophant, danke dir für die Anmerkung mit dem 5x5 GLS! War sehr verwirrt weil bei mir mit der Jacobi-Matrix von $g$ ein 3x3 System rauskam. Grüße, Shurian

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