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Analysis » Topologie » Folgern Sie, dass M eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ³ ist
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Universität/Hochschule Folgern Sie, dass M eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ³ ist
f4lk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-28 15:35


Guten Tag,
ich habe folgende Aufgabe:
"Sei f eine stetig differenzierbare Funktion von R^3 auf R^2 definiert durch f(x,y,z) = (x^2+y^2 , y^2+z^2). Sei ferner M:= f^(-1)({(1,4)^T}) Teilmenge R^3 und p = (1, 0, 2) aus M.
Bestimmen Sie die Menge der regulaeren Punkte und die der Regulaeren Werte von f. Folgern Sie, dass M eine eindimensionale Untermannigfaltikeit des R^3 ist."

Als regulaere Punkte habe ich R^3\{(x,0,0),(0,z,0),(0,0,z),(0,0,0)}
und fuer die regulaeren Werte habe ich (x^2,0), (y^2,y^2), (0,z^2)

Mit den regulaeren Werten bin ich mir nicht sicher (glaube ich habe etwas falsch verstanden) und ich weiss auch nicht wie ich darauf folgen kann, dass es eine eindimensionale Untermannigfaltikeit ist.

MfG



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-28 19:30


Hallo,

wie habt ihr denn Mannigfaltigkeiten und reguläre Punkte definiert. Spontan hätte ich gedacht, dass bei regulären Punkten die Jakobi-Matrix von $f$ vollen Rang (=2) hat.

Berechne also erst einmal die Ableitung von $f$.



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f4lk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29 14:20


Fuer die Untermannigfaltigkeit haben wir folgende Definition:

Sei 0 < k ≤ n und M ⊂ R^n. M heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R^n, falls es zu jedem Punkt p ∈ M offene Teilmengen U ⊂ R^k, V ⊂ R^n und ein ψ ∈ C^1(U,R^n) gibt mit:
1. p ∈ V .
2. ψ bildet U bijektiv auf M ∩V ab.
3. ψ−1 : M ∩V → U ist stetig.
4. dψ(x) ∈L(Rk,Rn) ist injektiv fuer alle x ∈ U.

Und fuer regulaere Punkte:

def.:

1. z ∈ U heißt regulaerer Punkt von f, falls df(z) ∈L(R^n,R^m) surjektiv ist.
2. w ∈ R^m heißt regulaerer Wert von f, falls die Menge f^−1({w}) ⊂ U nur aus regulaeren Punkten von f besteht

bem.:
1. z regulaerer Punkt von f
⇐⇒ rangJf(z) = m
⇐⇒ die Zeilen von Jf(z) sind linear unabhaengig im R^n
⇐⇒ Jf(z) hat m linear unabhaengige Spalten


Hab ich dann als regulaere Werte nicht alle Punkte die in R^2 sind ausser die Punkte {(x,0), (y,y), (0,z)} mir x,y,z aus den positiven reellen Zahlen mit der Null



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f4lk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29 16:30


Sollte das dann mit dem Satz vom regulaeren Wert nicht eine (3-2) Dimensionale Untermannigfaltigkeit sein?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-29 18:18


Was ist die Jacobi-Matrix von deiner Abbildung $f$? Magst du die mal aufschreiben?
Sonst kann ich deine Rechnung nicht nachvollziehen? Sorry.

Nach welchem Satz? Magst du den mal zitieren?



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f4lk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29 21:43




Als Matrix habe ich folgende 2x3 Matrix:
(2x 2y 0, 0 2y 2z)

In der nächsten Aufgabe muss ich eine Umgebung V⊂R^3 von p bestimmen, ein offenes Intervall I ⊂ R und eine C^1 Kurve g: I auf M mit g(I)=M∩V.

Leider komme ich bei der Aufgabe gar nicht weiter :/



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-29 22:26


Hallo,

deine Ableitungsmatrix stimmt.

Nun hat \(
\begin{bmatrix}
2x & 2y &0\\
0&2y&2z
\end{bmatrix}
\) genau dann vollen Rang, wenn die erste und die zweite Zeile verschieden sind und keine davon eine Nullzeile ist. Es muss also $(x,y)\neq (0,0)$, $(x,z)\neq (0,0)$ und $(y,z)\neq (0,0)$ gelten. Das sind auch schon die einzigen Bedingungen, die erfüllt sein müssen.

Wir betrachten also
\[
M=\{ (x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2=1,\ y^2+z^2=4\}
\]
Vielleicht hast du diese beiden Gleichungen schon mal gesehen? Sie definieren die Mäntel zweier Kreiszylinder. Es sind Kreisgleichungen aus der Schule, aber jeweils eine Koordinate ist beliebig.

Diese Mäntel schneiden sich unter anderem in dem Punkt $p=(1,0,2)$. Kannst du jeden der beiden Kreiszylinder einzeln parametrisieren?



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f4lk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-30 13:22


Ich verstehe nicht wie ich die Zylinder parametrisieren soll.
Wenn ich die groesste Umgebung um den Punkt p waehle dann habe ich doch den offenen Ball um p mit Radius r<1.
Muss ich dann davon die Schnittstelle mit dem Zylinder x^2+y^2=1 nehmen oder von beiden?
Ich bin mit damit gerade ueberfordert



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-30 16:54


Wie parametrisierst du einen Kreis? oder einen Halbkreis?

Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten.



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