| |
| Autor |
  Annäherung mit Taylor-Formel (mehrere Variablen): Kann ich Variablen als Entwicklungspunkte nehmen? |
|
Sambucus
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 100
 |  Themenstart: 2020-06-28
|
Kann mir jemand erklären wieso die folgende Annäherung für die Lagrangefunktion okay ist:
$L(x + \delta x, \dot{x} + \delta \dot{x},t)\approx L(x,\dot{x},t)+ \frac{\partial L}{\partial x}\partial x + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\partial \dot{x} $ ?
Wenn ich die Formel für die Taylor-Reihe in mehreren Variablen verwende, wie sie in diesem Artikel beschrieben wird https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe#Mehrdimensionale_Taylorreihe
erhalte ich:
$L(x + \delta x, \dot{x} + \delta \dot{x},t)\approx L(a_1,a_2,a_3)+ \frac{\partial L(a_1,a_2,a_3)}{\partial x }(x + \delta x -a_1) + \frac{\partial L(a_1,a_2,a_3)}{\partial \dot{x} }(\dot{x} + \delta \dot{x}-a_2) + \frac{\partial L(a_1,a_2,a_3)}{\partial t }(t-a_3)$
Wenn ich die Entwicklungspunkte wie folgt setze: $ a_1 = x, a_2 = \dot{x}, a_3 = t $, erhalte ich die obige Annäherung.
Ich sehe keinen anderen Weg, um die Annäherung zu erhalten, ABER $ x, \dot x $ und $ t $ sind keine festen Punkte, sondern Variablen.
Ich dachte, dass man einen !festen! Punkt als Entwicklungspunkt für eine Taylor-Reihe benötigt bzw. mehrere !feste! Punkte als Entwicklungspunkte wenn es um mehrere Variablen geht.
Wenn ich diese Variablen wirklich nur als Entwicklungspunkt festlegen muss, kann mir jemand erklären warum das möglich ist?
PS: $\delta x$ ist eine sehr kleine Verschiebung, deswegen ignoriert man für die Annährung höhere Potenzen von $\delta x$. Analog für $\delta \dot x$.
War mir nicht sicher bei Forum-Wahl, könnte auch zu mathematische Physik passen.
|
 Profil
|
Orangenschale
Senior 
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2282
Wohnort: Heidelberg, Deutschland
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-28
|
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hi Sambucus,
ich weiß genau was du meinst, damit hatte ich auch lange Probleme. :-)
Fangen wir mal so an, wie man sich das ganze logisch erschließen kann. Ich bleibe vorerst in einer Dimension:
Wenn man eine Funktion linearisiert, dann folgt in erster Ordnung
$$
f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x)\Delta x\,.
$$
Diese Gleichung sollte intuitiv Sinn ergeben, sie gilt an einer beliebigen Stelle $x$ und zeigt uns, wie wir von da aus $f(x+\Delta x)$ annähern können. Im Grenzfall $\Delta x=0$ ist die Aussage trivial. Eine andere Sicht auf diese Gleichung folgt durch Umstellen:
$$
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \approx f'(x)
$$
Also der bekannte Differenzenquotient für die erste Ableitung.
Mathematisch kann man sich die Gleichung (in einer und mehr Dimensionen) vielleicht so erschließen. Nehmen wir mal die Funktion $f(y)$ und berechnen die Taylorreihe an einer Stelle $y_0$ mit der bekannten Definition der Taylorreihe, dann erhalten wir
$$
f(y) \approx f(y_0) + \left.\frac{df}{dy}\right|_{y=y_0}\cdot(y-y_0) + \frac{1}{2!} \left.\frac{d^2f}{dy^2}\right|_{y=y_0}\cdot (y-y_0)^2 + \ldots
$$
Gut. Jetzt macht man nichts weiter als
$$
y=x+\Delta x\\
y_0 = x
$$
einzusetzen und man erhält sofort die Gleichung von oben.
Genauso läuft es dann bei mehrdimensionalen Funktionen. Nimm eine andere Variable als die die gegeben ist und ersetze erst zum Schluss.
Viele Grüße
OS\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sambucus
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 100
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29
|
\quoteon(2020-06-28 20:52 - Orangenschale in Beitrag No. 1)
$$
f(y) \approx f(y_0) + \left.\frac{df}{dy}\right|_{y=y_0}\cdot(y-y_0) + \frac{1}{2!} \left.\frac{d^2f}{dy^2}\right|_{y=y_0}\cdot (y-y_0)^2 + \ldots
$$
Gut. Jetzt macht man nichts weiter als
$$
y=x+\Delta x\\
y_0 = x
$$
einzusetzen und man erhält sofort die Gleichung von oben.
\quoteoff
Danke für deine Antwort ! :)
Ich habe einen Tag gewartet, da ich mir noch immer nicht zu 100% im Klaren bin, warum $y_0=x$ gesetzt werden kann, und ich das nochmal durchdenken wollte.
Meine Überlegung dazu:
Vlt. kann man $y_0=x$ setzen, da die einzige Voraussetzung an den Entwicklungspunkt zu sein scheint dass dieser im Definitionsbereich (muss ein offenes Intervall sein) der Funktion liegt.
Ob man nun einen konkreten festen Entwicklungspunkt oder eine Variable nimmt, bei der jeder einzelne mögliche Wert ein gültiger Entwicklungspunkt ist, ist vermutlich egal.
|
Profil
|
Orangenschale
Senior
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2282
Wohnort: Heidelberg, Deutschland
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-29
|
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo Sambucus,
du kannst das ganze an der Funktion $f(x)=e^x$ ausprobieren um eine Näherung für $f(x+\Delta x)$ zu bestimmen. Du wirst sehen, dass alles konsistent ist.
Viele Grüße
OS\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sambucus hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sambucus hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | Sambucus wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
