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  Stetigkeit von Grenzfunktionen von Funktionenfolgen |
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MaRehr
Junior 
Dabei seit: 24.06.2020
Mitteilungen: 5
Aus: Bochum, Deutschland
 | \(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IQ}{\sum_{}^{}}
\newcommand{\IQ}{\frac{}{}}
\)
Guten Tag ihr Lieben,
ich soll folgende Funktionenfolge auf punktmäßige und Gleichmäßige Konvergenz überprüfen:
\( f_n: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow f_n(x)=(1-x^3)^n \)
Was für mich klar ist: Die Grenzfunktion ist nicht stetig. Es gilt:
\( f(x)=0 \) für \( x \in (0,1] \) und \( f(x)=1 \) für \( x=0 \).
Meine Frage jetzt: Wenn ich die punktweise Konvergenz beweisen möchte, kann ich dann eine Fallunterscheidung für x machen? Mit dem Ansatz \( |f_n(x) - f(x) | < \epsilon \) habe ich keine andere Wahl oder?
Wie sieht das dann bei dieser Funktionenfolge und im Allgemeinen mit der gleichmäßigen Konvergenz aus?
Ist diese Funktionenfolge gleichmäßige konvergent, trotz unstetiger Grenzfunktion?
Ich bedanke mich im Voraus!
Liebe Grüße,
MaRehr\(\endgroup\)
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1084
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\H}{\mathbb{H}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo MaRehr,
für punktweise Konvergenz kannst du Fälle für $x$ unterscheiden, wie du lustig bist. Wenn die Funktionen selbst oder die Grenzfunktion stückweise definiert sind, dann kommt man auch fast nicht drum herum.
Bei gleichmäßiger Konvergenz darfst du das nicht. Aber du brauchst hier auch gar nicht mehr groß rechnen für gleichmäßige Konvergenz, denn gleichmäßige Konvergenz erhält immer die Stetigkeit. Wenn die Folgenglieder stetig sind, die Grenzfunktion aber nicht, dann kann die Konvergenz also nicht gleichmäßig sein.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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