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Universität/Hochschule Sind meine Antworten hier richtig (Analysis)?
daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-29 17:20


Hallo,
unser Professor gibt uns am Ende eines Abschnittes unseres Skriptes immer Verständnisfragen, zu denen er allerdings keine Lösungen hochlädt. Es wäre cool, wenn vielleicht jemand meine Antworten bzw. Begründungen dazu kurz "absegnen" könnte:
 
(1)Genau dann ist eine Teilmenge M eines topologischen Raumes(X,τ) sowohl offen als auch abgeschlossen, wenn sie keinen Randpunkt besitzt.
-->(Richtig, folgt aus den Definitionen)

(2)  Die Vereinigung beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist stets abgeschlossen.
-->(Richtig, wenn es endlich viele sind)

(3)C(versehen mit der Standardmetrik bzw. -topologie) ist separabel. (Richtig, weil es auf C ja unendlich viele abzählbare Teilmengen gibt)

(4)Für jede Teilmenge M eines topologischen Raumes (X,τ) gilt $$M◦=
\overline{M^{c}}^{c}$$ (Richtig)


(5)Ist die Menge Z aller ganzen Zahlen, aufgefasst als Teilmenge des metrischen Raumes (R,|·|), abgeschlossen? (Ja, sie wäre abgeschlossen)

(6)Handelt es sich bei den folgenden Abbildungen‖ ‖:R^3→R um Normen?
(a)$$\Vert x\Vert=|x_{1}|+\sqrt{x^{2}_{2}+x^{2}_{3}}$$ (Nein, Homogenität verletzt)
(b)‖x‖=|x1|+|x2|2+|x3|3 (Ist eine Norm)
(c)$$\Vert x\Vert=\sqrt{(x_{1}−x_{2})^{2}+ (x_{1}+x_{2})^{2}+x_{3}^{2}}$$(Nein, Homogenität verletzt)

(7)$$f:R^{m}⊃U→R^{n},x→f(x) = (f1(x),...,fn(x))$$ ist Hölderstetig zum Exponenten α∈(0,1] genau dann, wenn dies für alle Komponentenfunktionen zutrifft. (Hierbei seien R^n bzw. R^m mit der euklidischen Norm ausgestattet.)

(8)  Sind (X,dX), (Y,dY) metrische Räume, M⊂X und f:M→Y eine Funktion sowie x0 ∈ Me in isolierter Punkt von M, so is tfstetig in x0.

-->Bei 7 und 8 habe ich keinen blassen Schimmer, bitte helft mir

(9)  Ist f: [a,b]→R stetig, so ist der Graph G f={(x,f(x)) :x∈[a,b]}eine abgeschlossene Teilmenge des R^2(mit Standardmetrik)
-->(Nein, sie wäre weder offen noch abgeschlossen)

Ich hoffe ich habe euch jetzt nicht erschlagen. Ich wäre auch dankbar, wenn mir jemand auch nur bei einem Teil der Fragen weiterhelfen könnte

Viele Grüße
daenerystargaryen



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-29 18:26


Hallo,

die (6) solltest du nochmal überprüfen. Wieso zum Beispiel ist das in (a) keine Norm?

Zur (8): Wenn $x$ ein isolierter Punkt ist, so ist $\{x\}$ bereits eine offene Umgebung von $x$ bezüglich $(X,d)$. Was kannst du damit folgern?

Zu vielen anderen Aufgaben kann ich nichts sagen.



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-29 18:53


Hallo

1) ok
2) du schreibst selbst : endlich viele..die Antwort ist also 'did Aussage ist falsxh'
3) richtig, aber falsche Begründung (Tipp: warum sind die reellen zahlen separabel?)
4) wenn das stimmen würde, wäre ja der Abschluss jeder Menge die Menge selbst. Das ist falsch, suche ein gegenbsp
5)) richtig
6/7/8 vorerst nicht auseinander gesetzt
9) ich denke, dass ist abgeschlossen (betrachte eine Folge iin G die in R² konvergiert und zeige dass der Grenzwert bereits in G liegt.

Grüße
Creasy


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Smile (:



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29 23:53


Hallo ochen und creasy,
vielen Dank für eure Nachrichten:) Ich mache jetzt mal noch einen neuen Durchgang und versuche die Fehler zu verbessern.

(2)-->Falsch, da nicht von endlich vielen Mengen ausgegangen wird.

(3)-->Richtig, weil es auf C, weil zum Beispeil die dichte Teilmenge R in C liegt

(4)-->Falsch, deine Begründung leuchtet mir (denke ich zumindest) ein, aber ich finde gerade kein wirkliches Gegenbeispiel

(6)(a) (ist eine Norm, da alle Normeigenschaften erfüllt sind)

(8)--> x ist ja, wie du geschrieben hast eine offene Umgebung und stetige Funktionen können dadurch beschrieben werden, dass Urbilder offener Teilmengen der Zielmenge wieder offen sind, dann ist f auch stetig (hoffe ich habe hier eine passende Defintion erwischt)

Stimmt das nun so?:)



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-30 08:03


Nicht ganz

2020-06-29 23:53 - daenerystargaryen in Beitrag No. 3 schreibt:
(3)-->Richtig, weil es auf C, weil zum Beispeil die dichte Teilmenge R in C liegt
Die Menge $\mathbb R$ liegt weder dicht in $\mathbb C$ noch ist sie abzählbar.


(6)(a) (ist eine Norm, da alle Normeigenschaften erfüllt sind)
Was ist mit (b) und (c)?



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-30 09:18


Hallo und vielen Dank für die Antwort:)
Ich habe es jetzt nochmal versucht zu verbessern:

(3)-->Richtig, da in C unendlich viel abzählbare, dichte Teilmengen besitzt
(6)(a) -->Ist eine Norm
(b)--> Ist keine Norm, da die Homogenität verletzt wurde
(c)-->Ist keine Norm, da ebenfalls die Homogenität verletzt wurde



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-30 09:30


2020-06-30 09:18 - daenerystargaryen in Beitrag No. 5 schreibt:
(3)-->Richtig, da in C unendlich viel abzählbare, dichte Teilmengen besitzt.

Das würde ich nicht als Begründung durchgehen lassen - schließlich musst du begründen, dass es eine abzählbare dichte Menge gibt. Ohne Argument zu sagen, dass es unendlich viele solche Mengen gibt, ist keine Begründung.

(Die restlichen Punkte habe ich mir nicht durchgelesen.)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-30 09:55


Rechne doch bitte nochmal die Teilaufgaben der 6 nach :) Überprüfe also alle Kriterien einer Norm.



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-30 10:30


Hallo ochen und Kezer,
danke für eure Hilfe.

zu (3) habe ich mal etwas aus unserem Skript herausgesucht, dort steht, dass die Menge  Q  dicht in der Menge R liegt, und da R ja in C liegt, hat man mit Q eine Teilmenge gefunden, die ebenfalss abzähbar, dicht in C liegt.

und zu der (6): könntest du mr vielleicht sagen, ob die Antworten generell so stimmen? Bei der a) bin ich mir mittlerweile eigentlich sicher, dass es eine Norm ist. Bei den anderen Aufgaben habe ich die Dreiecksungliechung gar nicht erst überprüft, da es schon an der Homogenität gescheitert ist. Ist es nicht so, dass bei der b) und c) de Homogenität verletzt wurde?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-30 10:58


2020-06-30 10:30 - daenerystargaryen in Beitrag No. 8 schreibt:
zu (3) habe ich mal etwas aus unserem Skript herausgesucht, dort steht, dass die Menge  Q  dicht in der Menge R liegt, und da R ja in C liegt, hat man mit Q eine Teilmenge gefunden, die ebenfalss abzähbar, dicht in C liegt.

Lese bitte nochmal Beitrag No. 4 von ochen.


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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-30 11:02


Hallo Kezer,
oh man, sorry:/ hmm.. also ich weiß auf jeden Fall, dass Q dicht in R liegt, aber abzählbar natürlich nicht. Aber wenn Q dicht in R liegt würde es doch trotzdem automatisch dicht in C liegen, oder?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-30 11:40


Das ist nicht der Punkt, natürlich ist $\mathbb Q$ abzählbar, aber $\mathbb{R}$ liegt nicht dicht in $\mathbb{C}$ und damit $\mathbb{Q}$ erst recht nicht.

Du solltest bei dieser Frage (und eigentlich immer, wenn es um die komplexen Zahlen geht), ein geometrisches Bild von $\mathbb{C}$ vor Augen haben.


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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-30 13:35


Hallo Kezer, danke, dass du nochmal geantwortet hast. Wie kann man sich das denn geometrisch vorstellen?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-06-30 14:05


Hmm, habt ihr nichts über die Gauß'sche Zahlenebene gelernt? Wie stellt man sich eine komplexe Zahl $a + ib \in \mathbb{C}$ für $a,b \in \mathbb{R}$ vor?

Falls nein (was ich sehr seltsam finden würde), dann bitte in einem beliebigen Analysis Buch nachschlagen.


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-06-30 16:46


2020-06-30 10:30 - daenerystargaryen in Beitrag No. 8 schreibt:
und zu der (6): könntest du mr vielleicht sagen, ob die Antworten generell so stimmen?
Nein

Bei der a) bin ich mir mittlerweile eigentlich sicher, dass es eine Norm ist.
Super :)

Bei den anderen Aufgaben habe ich die Dreiecksungliechung gar nicht erst überprüft, da es schon an der Homogenität gescheitert ist. Ist es nicht so, dass bei der b) und c) de Homogenität verletzt wurde?
Nein. Bei wenigstens einer der beiden Aufgaben ist die Homogenität nicht verletzt.



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Creasy
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Hey

bei 4) such mal ein Bsp für eine Menge, die nicht gleich ihrem Abschluss ist, und teste Mal die Aussage für diese Menge.




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