Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » Lokalisierungen und die kanonische Abbildung
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Lokalisierungen und die kanonische Abbildung
Erratis
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2016
Mitteilungen: 101
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-02


Hallo zusammen!
Ich beschäftige mich gerade mit der Wiederholung einer Vorlesung und habe bemerkt, dass ich eine Sache nicht ganz verstehe.
Sei $R$ ein kommutativer Ring und $T$ eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge (insbesondere gilt $0\notin T,1\in T$)
Der kanonische Homomorphismus $can:R\to T^{-1}R$ ist gegeben durch $r\mapsto r/1$.
Nun wird in einem Beweis das Urbild eines Primideals $a\in Spec(T^{-1}R)$ genommen (die Primideale von $T^{-1}R$).
Warum ist das wohldefiniert?
Damit es funktioniert müsste jedes $r/t \in T^{-1}R$ in der gleichen Äquivalenzklasse wie ein $r'/1$ liegen. Das ist doch äquivalent dazu, dass $\exists u\in T: u(r-r't)=0$. Gehe ich davon aus, dass mein Ring nullteilerfrei ist bleibt $r=r't$ d.h. insbesondere teilt $t$ $r$ in $R$.
Das muss doch i.A. nicht gelten, deshalb die Frage: wo hab ich den Denkfehler oder ist das Problem nicht relevant?
Sitze da schon wieder viel zu lange dran :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 547
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-02


Guten Abend,

Warum möchtest du denn, dass jedes $r/t \in T^{-1}R$ von einem Element getroffen wird? Anders gesagt:

Angenommen $f\colon M \to N$ ist eine Abbildung. Dann scheint deine Forderung, um Urbilder bilden zu können, zu sein: Für alle $n\in N$ gibt es ein $m\in M$ sodass $f(m) = n$ ist? Aber das muss natürlich nicht sein. Falls das nicht so ist, dann ist halt $f^{-1} ( \{n\} ) = \emptyset$.

So ist das hier auch: Falls $r/t\in T^{-1}R$ und es kein $r'\in R$ gibt mit $r'/1 = r/t$, dann ist halt $can^{-1} ( \{r/t\} ) = \emptyset$, wohldefiniert ist das aber schon.

Hab ich dein Problem richtig verstanden?

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Erratis
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2016
Mitteilungen: 101
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02


Hallo Creasy,

genau das ist mein Problem.
Was ich als Definition des Urbildes genommen habe impliziert, dass $can$ surjektiv sein muss (was ich dachte zu zeigen ist). Ich habe mich wohl von der Aussage verrückt machen lassen, dass $can^{-1}$ wieder ein Primideal ist. Wenn ich ein Ideal  $I\in T^{-1}R$ habe, dann ist natürlich auch $0/1\in I$ enthalten, also ist (im worstcase wenn $r/t\notin Im(can)\forall r/t \in T^{-1}R$) immer noch $can^{-1}(I)={0}$ ein Ideal.
D.h. die Surjektivität von $can$ wurde nie gefordert.
Habe ich das so richtig verstanden?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 547
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-03


2020-07-02 23:20 - Erratis in Beitrag No. 2 schreibt:
... also ist (im worstcase wenn $r/t\notin Im(can)\forall r/t \in T^{-1}R$)

hier versteh ich nicht so recht, was du sagen willst, weil bspweise ja für r=0 und t = 1 ist ja $r/t \in Im(can)$.

Aber ja: Man muss nicht fordern, dass can nicht surjektiv ist.
Da $0_{T^{-1}R} = 0/1 \in I$ ist (wenn $I \subseteq T^{-1}R$ ein Ideal ist), dann ist auch $0\in can^{-1} (I).$



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Erratis
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2016
Mitteilungen: 101
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03


Sorry gestern Abend war es spät. Natürlich meine ich dort $r/t\notin Im(can)$ für Dinge, die nicht äquivalent zu einem $0/t$ mit $t\in T$ sind (dass mindestens $0/1$ im Bild liegt ist wegen der Idealeigenschaft des Bildes klar).

Bin ich froh, dass das Problem so elementar war.
Danke dir :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Erratis hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Erratis hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]