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Mathematik » Stochastik und Statistik » Beweis Zufallsvariable Äquivalenz
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Universität/Hochschule Beweis Zufallsvariable Äquivalenz
champ456
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-02


Guten Abend Freunde,

mir fällt das Lösen dieser Aufgabe etwas schwer. Ich muss für die Zufallsvariablen beweisen \( X_{n}, X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, \) die Áquivalenz der folgenden Aussagen:
(1) \( X_{n} \) konvergiert fast sicher gegen \( X \)
(2) \( \forall \epsilon>0: \lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(\sup _{k \geq n}\left|X_{k}-X\right|>\epsilon\right)=0 \)

Ich denke für den Beweis benötigen wir eine Hilfsaussage.
Proposition 8.1.4. Seien (Ω, F) ein Messraum und E eine Menge. Außerdem seien X :
Ω → E eine Abbildung und E ⊂ 2
E eine Mengenfamilie mit der Eigenschaft, dass X−1
(B) ∈
F fur jede Menge ¨ B ∈ E. Dann gilt auch X−1
(B) ∈ F fur jede Menge ¨ B ∈ σ(E)
Allerdings weiß ich nicht, wie man das weiter fortführt, hat jemand eine Idee, wie man das löst? Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüße

Champ



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-03


Hallo champ456 und Willkommen!

Ich denke, diese Proposition wird hier nicht gebraucht.
Überlege dir als ersten Schritt mal, dass die Aussage (2) äquivalent ist zur Aussage
(2') \(\forall l \in \mathbb{N}\): \(\lim\limits_{n \to \infty} P(\sup_{k \geq n} |X_k - X| > \frac{1}{l} )=0\).

Nun gilt es, die Aussage (1), also \(P(\lim\limits_{n \to \infty} X_n =X)=1\) bzw. äquivalent und hier besser geeignet, \(P(\lim\limits_{n \to \infty} X_n \neq X)=0\), so äquvialent umzuformulieren, dass die Aussage (2') dort steht.

Bestimmt wurde im Skript oder in einer vorherigen Übung mal gezeigt, dass die Menge \(\{ \lim\limits_{n \to \infty} X_n = X \}\) messbar ist. Arbeite ähnlich wie in dem Beweis.
Die \(\sigma\)-Stetigkeit von unten bzw. oben von \(P\) könnte auch noch helfen



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