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 monoton fallende, differenzierbare Funktion gesucht |
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rubberbone
Junior 
Dabei seit: 03.07.2020
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2020-07-03
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Hallo,
ich suche eine Funktion f: R+ -> R, sodass f monoton fallend und differenzierbar ist.
Ferner soll gelten, dass:
lim(x->\inf,f(x)) = 0
aber der
lim(x->\inf,f'(x))
nicht existent ist.
Ich bin dankbar für jede Hilfe
PS: ich bin neu hier und kann weder fedgeo noch LATEX richtig benutzen. Ich hoffe ihr seid nachsichtig.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo rubberbone und herzlich willkommen hier im Forum!
Deine Forderungen scheinen mir miteinander zu kollidieren. Denn wenn die ersten drei Eigenschaften gelten, dann folgt sicherlich
\[\lim_{x\to\infty}f'(x)=0\]
In welchem Zusammenhang stellt sich dir die Frage denn?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8388
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-03
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Hallo,
wenn man auf die Monotonie verzichtet, funktioniert es.
Grüße
StrgAltEntf
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rubberbone
Junior 
Dabei seit: 03.07.2020
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03
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Danke für die Antwort. Mir kommt es auch widersprüchlich vor.
Die folgende Aufgabe wurde mir gestellt:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53346_Funktion.PNG
Grüße
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8388
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-03
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Doch, ich kann mir vorstellen, dass es so etwas gibt. Bei f(x) = 1/x schmiegt sich der Funktionsgraph an die x-Achse an. Man muss nun dafür sorgen, dass es hin und wieder für ein kleines Stückchen steil bergab geht. Eine explizite Funktionsgleichung habe ich aber noch nicht.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5025
 | Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-03
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Nimm irgendeine Funktion $\phi\colon\mathbb[0,\infty)\to[0,1]$ mit $\liminf_{x\to\infty}\phi(x)=0$, $\limsup_{x\to\infty}\phi(x)=1$ und $\int_0^\infty\phi(\xi)\,d\xi<\infty$ und setze damit$$
f(x)=\int_x^\infty\phi(\xi)\,d\xi\;.$$--zippy
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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rubberbone
Junior
Dabei seit: 03.07.2020
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03
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@zippy Danke für die Antwort. Ich verstehe sie nur bedingt. Vermutlich trägt mein mangelndes Verständnis für limsup und liminf einen Teil dazu bei. Wäre für Phi beispielsweise die Sinus- oder Kosinusfunktion eine Wahl (beziehungsweise sin²(x) oder cos²(x)?
Woher weiß ich dass eine Funktion Phi dieser Art existiert und müsste ich nicht noch zeigen, dass f monoton und differenzierbar ist , sowie gegen 0 geht?
Grüße
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5025
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-03
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\quoteon(2020-07-03 11:21 - rubberbone in Beitrag No. 6)
Wäre für Phi beispielsweise die Sinus- oder Kosinusfunktion eine Wahl (beziehungsweise sin²(x) oder cos²(x)?
\quoteoff
Du brauchst eine Funktion, die zwar einerseits – wie $\sin^2x$ oder $\cos^2x$ – zwischen $0$ und $1$ oszilliert, für die aber andererseits die Fläche unter den "Peaks" schnell genug gegen 0 geht, damit das Integral endlich bleibt.
\quoteon(2020-07-03 11:21 - rubberbone in Beitrag No. 6)
Woher weiß ich dass eine Funktion Phi dieser Art existiert
\quoteoff
Wenn es nicht auf eine geschlossene Formel ankommt, kann man leicht eine passende Funktion angeben: Nimm einfach Dreieckspulse der Höhe $1$ bei allen positiven ganzen Zahlen $k$, deren Breite wie $2^{-k}$ gegen $0$ geht.
Eine geschlossene Formel, die ähnliches leistet, ist$$
\phi(x) = \exp\left(-x^4\cdot\sin^2x\right)\;.$$
\quoteon(2020-07-03 11:21 - rubberbone in Beitrag No. 6)
und müsste ich nicht noch zeigen, dass f monoton und differenzierbar ist , sowie gegen 0 geht?
\quoteoff
Das ergibt sich beides sofort durch die Konstruktion von $f$ aus $\phi$.
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rubberbone
Junior
Dabei seit: 03.07.2020
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03
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Danke nochmal für die Antworten.
Ist direkt klar, dass das Integral über $\phi$ dann endlich ist?
Dass f monoton ist, leuchtet mir ein aber wieso ist f notwendigerweise differenzierbar? Die Ableitung von f ist nicht $\phi$, oder?
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3810
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-07-03
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\quoteon(2020-07-03 12:35 - rubberbone in Beitrag No. 8)
Danke nochmal für die Antworten.
Ist direkt klar, dass das Integral über $\phi$ dann endlich ist?
\quoteoff
Du musst es eben so wählen. Bei den Wahlen von zippy schon :)
\quoteon
Dass f monoton ist, leuchtet mir ein aber wieso ist f notwendigerweise differenzierbar?
Die Ableitung von f ist nicht $\phi$, oder?
\quoteoff
Nicht ganz aber fast. Beachte das Vorzeichen.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5025
| Beitrag No.10, eingetragen 2020-07-03
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\quoteon(2020-07-03 12:35 - rubberbone in Beitrag No. 8)
Ist direkt klar, dass das Integral über $\phi$ dann endlich ist?
\quoteoff
Für die Dreieckspulse ist das sofort klar (das läuft auf $\sum_{k=1}^\infty1/2^k<\infty$ hinaus), für die geschlossene Form muss man sich schon etwas Mühe geben, um das Problem auf $\sum_{k=1}^\infty1/k^2<\infty$ zurückzuführen.
\quoteon(2020-07-03 12:35 - rubberbone in Beitrag No. 8)
Die Ableitung von f ist nicht $\phi$, oder?
\quoteoff
Die Ableitung ist $f'(x)=-\phi(x)$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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rubberbone
Junior
Dabei seit: 03.07.2020
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03
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Danke nochmal und eine letzte Frage:
Wieso ist $f'(x)=-\phi(x)$ ?
Ich habe noch nie eine Funktion abgeleitet deren Argument nur in der Grenze eines Integrals vorkommt.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5025
| Beitrag No.12, eingetragen 2020-07-03
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\quoteon(2020-07-03 13:02 - rubberbone in Beitrag No. 11)
Ich habe noch nie eine Funktion abgeleitet deren Argument nur in der Grenze eines Integrals vorkommt.
\quoteoff
Das hast du bestimmt schon sehr oft gemacht, denn das ist doch Teil des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Die Besonderheit hier ist nur, dass das Argument nicht als obere, sondern als untere Grenze auftaucht.
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