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  Anwendung des Satzes über implizite Funktionen |
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elbowUpHisButt
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 10.06.2020
Mitteilungen: 23
 |  Themenstart: 2020-07-03
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Grüßt euch!
Ich muss zeigen, dass Nullstellen eines Polynoms stetig differenzierbar von seinen Koeffizienten
abhängen.
Als Hinweis muss man Funktion betrachten \(F:\IR^{n+1}×\IR \mapsto \IR\) ,\((a,x)\mapsto \sum_{k=0}^n a_k x^k\) wobei \(a=(a_0,..,a_n)\).
Es ist bekannt dass \(F(a,\gamma)=0\) und \({\partial F\over\partial x}(a,\gamma) \neq 0 \). Weiterhin heißt es, wir müssen zeigen dass es eine Umgebung \(U\) von a und eine stetig differenzierbare Funktion \(f:U\mapsto \IR\) gibt, so dass \(F(b,f(b))=0\) ist für alle \(b \in U\)
Ich hab zwar kein plan was das mit Abhängigkeit der nullstellen von den koef. zu tun hat, aber es folgt meiner Meinung nach direkt aus dem satz über implizite Funktionen?
Nämlich bedeutet \({\partial F\over\partial x}(a,\gamma) \neq 0 \) dass \([{\partial F\over\partial x}(a,\gamma)]\) invertierbar ist, weil in \(\IR^{1,1}\) ist. Also gibt es zu jedem \(b\) aus Umgebung von a ein ... und ein stet.diff-bares \(f:U\mapsto V\) s,d \(F(b,f(b))=0\). \(V \subseteq \IR\) ist hier Umgebung von \(\gamma\).
Jetzt habe ich aber ungutes gefühl dass ich nicht das gemacht habe was man sollte, weil es eigentlich kein beweisen war. Wäre ganz cool wenn jemand dazu was sagen könnte
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4288
Wohnort: Raun
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-04
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Hallo elbowUpHisButt,
ohne den Hinweis und deinen Lösungsversuch würde ich nie auf die Idee mit dem Satz von der impliziten Funktion kommen. Doch sieht das soweit schon ganz gut aus. Versuche nochmal in Worten zu formulieren, wie die Aussage für \(b, f(b)\) lautet, wenn man \(b=a, f(b)=\gamma\) einsetzt, also dass \(a\) der Koeffizientenvektor ist und \(\gamma\) eine Nullstelle
Viele Grüße,
Stefan
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elbowUpHisButt
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 10.06.2020
Mitteilungen: 23
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04
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Ah,danke! Jetzt hab ich gecheckt wieso das stet.diff-bare Abhängigkeit impliziert!
Der beweis stört mich nur deswegen weil wir diesen Hinweis schon gegeben haben,bzw müssen diesen satz nicht mal anwenden. Die ganzen Voraussetzungen sind im hinweis drin, also folgt alles sozusagen direkt ohne das man etwas machen muss
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elbowUpHisButt hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
elbowUpHisButt hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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