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Universität/Hochschule J Gerade Kongruenzabbildungen
Dreieck
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-03


Guten Abend lieber Matheplanet,

bezüglich der nachfolgenden Aufgabe habe ich einige Beweisschwierigkeiten:

"Zu vier Punkten A, A', B und B' mit |AB|=|A'B'| > 0 gibt es genau eine gerade Kongruenzabbildung, die A auf A' und B auf B' abbildet."

Ich vermute dabei stark, dass der folgende Satz beim Beweis helfen kann:

"Eine Verkettung von zwei Kongruenzabbildungen ist genau dann gerade, wenn beide Kongruenzabbildungen gerade oder beide Kongruenzabbildungen ungerade sind."

Ich denke, dass der Beweis der Eindeutigkeit relativ einfach sein sollte. Beim Beweis der Existenz scheitere ich gerade jedoch.

Beste Grüße und vielen Dank für eure Hilfe
Dreieck  



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-03


Hallo Dreieck,

welche Sätze hast du denn so zur Verfügung?

Wenn nämlich |AB| und |A'B'| nicht parallel sind, dann gäbe es schonmal einen Satz über Bewegungen mit einem Fixpunkt...

Für den anderen Fall argumentiere mit Spiegelungen.


Gruß, Diophant



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Dreieck
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03


Hallo lieber Diophant,

wir hatten bereits den Satz, dass eine Drehung genau einen Fixpunkt besitzt. Aber die Umkehrung - also dass eine Bewegung mit einem Fixpunkt eine Drehung sein muss - hatten wir direkt noch nicht.

Also wenn die beiden Geraden nicht parallel sind, dann gäbe es ja genau diesen einen Fixpunkt. Aber warum kann ich überhaupt die Existenz einer geraden Kongruenzabbildung annehmen?

Falls die Geraden parallel sind, dann kann ich sie durch Spiegelung gewinnen. Aber Spiegelungen sind ja ungerade. Warum gibt es trotzdem genau eine gerade Kongruenzabbildung?

Liebe Grüße
Dreieck



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-03


Hallo Dreieck,

Drehungen sind ja gerade (das besagt ja der betreffende Satz letztendlich). Und eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt ist eine Drehung. Wenn du das nicht verwenden darfst, dann argumentiere mit zwei Achsenspiegelungen, deren Achsenschnittpunkt der Fixpunkt ist.

Und bei den beiden parallelen Fällen musst du ebenfalls begründen, warum eine Abbildung aus zwei Achsenspiegelungen möglich ist. Eine solche Bewegung ist gerade (nach dem von dir im Themenstart zitierten Satz).


Gruß, Diophant



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Dreieck
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04


Lieber Diophant,

vielen Dank für deine Ratschläge. Ich bin der Lösung des Problems sehr nahe gerückt, aber eben doch noch nicht ganz zufrieden.

Im ersten Fall betrachten wir die Strecken AB und A'B' unter der Annahme, dass diese parallel sind. Hier kann man einfach eine Verschiebung anwenden, um AB in A'B' zu überführen. Verschiebungen sind geraden- und parallelentreu, weshalb man AB auf A'B' abbilden kann. Weil Verschiebungen gerade sind, folgt die Behauptung.

Sind die Strecken AB und A'B' nicht parallel, so kann zunächst AB so auf A'B' verschoben werden, dass sich AB und A'B' im Punkt A treffen. A wird also zum Fixpunkt der Abbildung. Damit gibt es eine Drehung mit Zentrum A, mit deren Hilfe ich auch B auf B' abbilden kann. Ich habe also eine Verschiebung und eine Drehung angewendet. Da die Verknüpfung gerader Bewegungen gerade ist, folgt auch hier die Aussage.

Ich bin mir jedoch unsicher, ob diese Argumentation zum Beweis der Existenz ausreicht oder ob das zu einfach gedacht ist. Über eine Rückmeldung würde ich mich sehr freuen.

Liebe Grüße
Dreieck



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-04


Hallo,

wenn du Translationen und Rotationen samt ihren Eigenschaften zur Verfügung hast, dann ist das doch ok so. Nur ist die Aufgabe für diesen Fall etwas "trivial".

Ich hätte jetzt schon gedacht, dass man hier rein über Spiegelungen argumentiert und dem Satz aus dem Themenstart über die Verkettung von geraden und ungeraden Bewegungen.

Und eine Drehung lässt sich eben stets durch zwei geeignete Spiegelungen realisieren. Damit ist auch klar (jenseits von der Anschauung), dass Drehungen gerade sind.

Einen Fall musst du noch bedenken (oder du hast ihn bedacht, aber wir haben ihn nicht weiter thematisiert): die Strecken könnten parallel sein aber nicht gleich gerichtet. Für diesen Fall könnte man eine Drehung um 180° verwenden.


Gruß, Diophant



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Dreieck
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04


Hallo lieber Diophant,

vielen Dank für deine Mithilfe und die Erwähnung des dritten möglichen Falls. Ich denke, dass ich auch Translationen und Drehungen verwenden darf. Die Theorie dazu ist mir bekannt.

Dankeschön für deine Mithilfe!

Beste Grüße
Dreieck



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