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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Störungstheorie am Zwei-Niveau-System
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Universität/Hochschule Störungstheorie am Zwei-Niveau-System
RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-04


Hallo. Ich bearbeite aktuell das folgende Problem:



a) Die Eigenzustände von \(H_{0} \) sind \(E^{0}_{1} \) und \(E^{0}_{2} \).
so weit so gut. Jetzt sollen ja die exakten Eigenwerte und Eigenzustände von \(H\) angegeben werden.

Für mich bedeutet das:

\[H = \begin{pmatrix} E^{0} _{1}  & \Delta - \lambda   \\ \Delta - \lambda & E^{0} _{2}   \\   \end{pmatrix}  \] \(\Rightarrow \) Eigenwerte durch Polynom:
\[\lambda ^{2} - (E^{0} _{1} + E^{0} _{2})\lambda + E^{0} _{1}E^{0} _{2}-\Delta^{2}+\lambda ^{2}-2\Delta\lambda = 0\]
Ist das bis hierhin so korrekt, zumindest das Vorgehen, oder schon falsch?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-04


2020-07-04 11:20 - RogerKlotz im Themenstart schreibt:
a) Die Eigenzustände von \(H_{0} \) sind \(E^{0}_{1} \) und \(E^{0}_{2} \).
so weit so gut.

Nein, nicht wirklich gut. Du verwechselst Eigenzustände und Eigenwerte.

2020-07-04 11:20 - RogerKlotz im Themenstart schreibt:
Für mich bedeutet das:

\[H = \begin{pmatrix} E^{0} _{1}  & \Delta - \lambda   \\ \Delta - \lambda & E^{0} _{2}   \\   \end{pmatrix}  \]
Was soll denn dieses $\lambda$ hier sein?
* Das $\lambda$ aus der Aufgabenstellung kann es nicht sein, denn dann stünde da $\lambda\cdot\Delta$ statt $\Delta-\lambda$.
* Der Eigenwert $E$, der sich als Lösung der Gleichung $\det(H-E\cdot1)=0$ ergibt, kann es auch nicht sein, denn dann käme $\lambda$ auf der Haupt- und nicht auf der Nebendiagonalen vor.

--zippy



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-04


2020-07-04 11:20 - RogerKlotz im Themenstart schreibt:
Hallo. Ich bearbeite aktuell das folgende Problem:



a) Die Eigenzustände von <math>H_{0} </math> sind <math>E^{0}_{1} </math> und <math>E^{0}_{2} </math>.
so weit so gut.
Nein, das sind Eigenwerte.


Jetzt sollen ja die exakten Eigenwerte und Eigenzustände von <math>H</math> angegeben werden.

Für mich bedeutet das:

<math>\displaystyle H = \begin{pmatrix} E^{0} _{1}  & \Delta - \lambda   \\ \Delta - \lambda & E^{0} _{2}   \\   \end{pmatrix}  </math>
Nein, die Matrix für <math>H</math> sieht anders aus; beachte, daß <math>\lambda</math> ein Mass für die Störung und kein Eigenwert ist.




<math>\Rightarrow </math> Eigenwerte durch Polynom:
<math>\displaystyle \lambda ^{2} - (E^{0} _{1} + E^{0} _{2})\lambda + E^{0} _{1}E^{0} _{2}-\Delta^{2}+\lambda ^{2}-2\Delta\lambda = 0</math>

Ist das bis hierhin so korrekt, zumindest das Vorgehen, oder schon falsch?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Danke für das feedback. Da habe ich mich einfach wirklich vertan bezüglich der Eigenwerte und Eigenzustände.

Aus den Eigenwerten \(E_{1}^{0}\) und \(E_{2}^{0}\) erhalte ich die Eigenzustände (Eigenvektoren) mit \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\  \end{pmatrix} \) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\  \end{pmatrix} \).

Die Matrix \(H\) sieht so aus:

\[H=\begin{pmatrix} E^{0}_{1}  & \Delta \lambda  \\ \Delta \lambda  & E^{0}_{2}   \\  \end{pmatrix}  \]
Daraus ergibt sich dann das Polynom: \( \lambda ^{2} - (E^{0} _{1} + E^{0} _{2})\lambda + E^{0} _{1}E^{0} _{2}-\Delta^{2}\lambda ^{2} = 0\)
\(\Rightarrow \lambda ^{2}(1-\Delta^{2}) - (E^{0} _{1} + E^{0} _{2})\lambda + E^{0} _{1}E^{0} _{2}= 0  \)





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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-05


2020-07-05 13:48 - RogerKlotz in Beitrag No. 3 schreibt:
Daraus ergibt sich dann das Polynom: \( \lambda ^{2} - (E^{0} _{1} + E^{0} _{2})\lambda + E^{0} _{1}E^{0} _{2}-\Delta^{2}\lambda ^{2}\)

Schau dir nochmal diesen Abschnitt an:

2020-07-04 12:28 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Was soll denn dieses $\lambda$ hier sein?
* Das $\lambda$ aus der Aufgabenstellung kann es nicht sein, denn dann stünde da $\lambda\cdot\Delta$ statt $\Delta-\lambda$.
* Der Eigenwert $E$, der sich als Lösung der Gleichung $\det(H-E\cdot1)=0$ ergibt, kann es auch nicht sein, denn dann käme $\lambda$ auf der Haupt- und nicht auf der Nebendiagonalen vor.

Du hast $\lambda$ jetzt in beiden Bedeutungen verwendet (also als das $\lambda$ der Aufgabenstellung und als Eigenwert $E$). Das kann natürlich nicht gutgehen.



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Ist richtig. Die Wahl ist nicht gut. Dann nenne ich das "Eigenwert" \(\lambda\) einfach \(E\), so wie die Eigenwerte sowieso am ende sein sollen.

\(\Rightarrow E^{2} - (E^{0} _{1} + E^{0} _{2})E + E^{0} _{1}E^{0} _{2}-\Delta^{2}\lambda ^{2} = 0\)
Versuche ich dies aber zu lösen, komme ich auf keine Lösung..



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-05


2020-07-05 16:39 - RogerKlotz in Beitrag No. 5 schreibt:
Versuche ich dies aber zu lösen, komme ich auf keine Lösung..

Das ist eine quadratische Gleichung für $E$. Wie man die löst, hast du sicher schon in der Schule gelernt.



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Ja das ist richtig...
\(E_{1/2} = \frac{E^{0}_{1} + E^{0}_{2}  }{2} \pm  \sqrt{\frac{(E^{0}_{1} + E^{0}_{2})^{2}  }{4}-E^{0}_{1}E^{0}_{2}+\Delta^{2}\lambda ^{2}  } \)

wie bekomme ich denn nun aus dem Ausdruck meine expliziten Eigenwerte..😖



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-06


2020-07-06 00:06 - RogerKlotz in Beitrag No. 7 schreibt:
Ja das ist richtig...
\(E_{1/2} = \frac{E^{0}_{1} + E^{0}_{2}  }{2} \pm  \sqrt{\frac{(E^{0}_{1} + E^{0}_{2})^{2}  }{4}-E^{0}_{1}E^{0}_{2}+\Delta^{2}\lambda ^{2}  } \)

wie bekomme ich denn nun aus dem Ausdruck meine expliziten Eigenwerte..😖


Das sind bereits die gesuchten Eigenwerte. Du kannst nur noch ein bisschen vereinfachen: $
E_{1/2} = \frac{E^{0}_{1} + E^{0}_{2}  }{2} \pm  \sqrt{\frac{(E^{0}_{1} - E^{0}_{2})^{2}  }{4}+\Delta^{2}\lambda ^{2}  }$



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


SUPER! Danke für die Hilfe auch noch um diese Uhrzeit.
Daraus ergeben sich dann meine Eigenzustände zu:

\(\begin{pmatrix} -\frac{-E^{0}_{1}+E^{0}_{2}+ \sqrt{4 \Delta^{2}\lambda^{2}+E_{1}^{0^{2}}-2E^{0}_{1}E^{0}_{2}E_{2}^{0^{2}    }   }  }{2\lambda ^{2}\Delta^{2}  }  \\ 1 \\  \end{pmatrix} \)

und

\(\begin{pmatrix} -\frac{-E^{0}_{1}+E^{0}_{2}- \sqrt{4 \Delta^{2}\lambda^{2}+E_{1}^{0^{2}}-2E^{0}_{1}E^{0}_{2}E_{2}^{0^{2}    }   }  }{2\lambda ^{2}\Delta^{2}  }  \\ 1 \\  \end{pmatrix} \)

Ist das so korrekt?



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zippy
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2020-07-06 00:45 - RogerKlotz in Beitrag No. 9 schreibt:
Ist das so korrekt?

Fast: In der Wurzel hast du beim Ausrechnen von $(E^{0}_{1} - E^{0}_{2})^2$ ein "$+$" vergesssen.

Außerdem will man möglicherweise einen normierten Vektor als Eigenzustand sehen.



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