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Strukturen und Algebra » Ringe » Ideal aus ggT
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Universität/Hochschule J Ideal aus ggT
MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-06


Hallo,

Ich habe einen kommutativen Ring R zusammen mit einem Ideal dieses Rings welches als $I = \{k \cdot a + l \cdot b\}$ definiert ist gegeben. a und b sind hier feste Elemente aus dem Ring während k und l beliebig (auch aus dem Ring) sind. Ich habe nun folgende 2 Aufgaben:

1. $I$ wie oben definiert ist das kleinste Ideal, das a und b enthält.

Ansatz: Mein Ansatz zu diesem Teil der Aufgabe bezieht sich auf der Definition einer erzeugten Untergruppe. Laut Definition ist $\langle a,b \rangle$ die kleinste Untergruppe von (R,+) welche a und b enthält. Zeige ich nun also die Mengengleichheit, also dass $\langle a,b \rangle$ = $I$ ist, so hätte ich die kleinste Untergruppe welche gleichzeitig auch dem Ideal entspricht und die Aussage wäre gezeigt oder?

Reicht es dabei einfach zu argumentieren, dass $\langle a,b \rangle = \{g_{1}^{\pm 1} + ... + g_{n}^{\pm 1} | g_{i} \in \{a,b\} n \in \mathbb{N}\}$ und somit auch durch beliebige Kombinationen alle Elemente von $I$ erzeugt? Also z.B. $n := k + l$ für beliebige $k,l \in \mathbb{N}$ und dann gilt ja auch bei einer additiven Gruppe $a + ... + a + b + ... + b = k \cdot a + l \cdot b$. Geht das in die richtige Richtung?

2. Falls es ein $c \in R$ gibt, sodass für $I$ von oben gilt: $I = \{r \cdot c\}$ so ist c ein ggT von a und b. Zeigen sie die folgenden definierenden Eigenschaften eines ggT: c teilt sowohl a als auch b.

Ansatz: Für mich ist das etwas zu abstrakt. Oft sind es solche einleuchtenden Beweise die ich am schwierigsten finde. Wenn c als der ggT definiert ist sagt mir mein Kopf "natürlich teilt dieser dann a und b", aber dass formal auszudrücken ist immer schwierig für mich. Wie würde man denn Teilbarkeit definieren? Würde man einfach sagen dürfen, dass es $k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Z}$ gibt, sodass $k_{1} \cdot c = a$ bzw. $k_{2} \cdot c = b$ ist?

Mfg !



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-06


Hallo!

2020-07-06 14:20 - MePep im Themenstart schreibt:
1. $I$ wie oben definiert ist das kleinste Ideal, das a und b enthält.

Ansatz: Mein Ansatz zu diesem Teil der Aufgabe bezieht sich auf der Definition einer erzeugten Untergruppe. Laut Definition ist $\langle a,b \rangle$ die kleinste Untergruppe von (R,+) welche a und b enthält. Zeige ich nun also die Mengengleichheit, also dass $\langle a,b \rangle$ = $I$ ist, so hätte ich die kleinste Untergruppe welche gleichzeitig auch dem Ideal entspricht und die Aussage wäre gezeigt oder?
Nein. Ich weiß nicht, wieso du überhaupt mit der erzeugten Untergruppe argumentieren willst, hier ist doch von Gruppen und Untergruppen überhaupt nicht die Rede, sondern von Ringen und Idealen. Es ist zwar leider so, dass die Notation $\langle \ldots \rangle$ für alle möglichen "erzeugten" Unterstrukturen -- Untergruppen, Ideale, Untervektorräume ... -- benutzt wird, aber die Aufgabenstellung benutzt diese Notation ja anscheinend gar nicht, sondern spricht in Prosa vom "kleinsten Ideal, das $a$ und $b$ enthält".

Vielleicht brauchst du auch ein Beispiel, das zeigt, dass das falsch ist. Betrachte den Ring $\IQ$ mit $a=1$ und $b=2$. Die von $a$ und $b$ erzeugte Untergruppe (von $(\IQ,+)$) ist $\IZ$. Das von $a$ und $b$ erzeugte Ideal ist jedoch $\IQ$, denn jedes $p/q\in\IQ$ lässt sich ja schreiben als $(p/q) \cdot a + 0\cdot b$. (Der Unterschied ist, dass die Koeffizienten $k$ und $l$ aus dem Ring kommen können, nicht nur aus $\IZ$, wie es bei der erzeugten Untergruppe einer abelschen Gruppe wäre.)

Du sollst hier zeigen, dass $I$ gleich dem Durchschnitt aller Ideale ist, die $a$ und $b$ enthalten, d.h.: $I$ ist ein Ideal, $I$ enthält $a$ und $b$, und wenn $J$ ein Ideal ist, dass $a$ und $b$ enthält, dann ist $I\subseteq J$.


2. Falls es ein $c \in R$ gibt, sodass für $I$ von oben gilt: $I = \{r \cdot c\}$ so ist c ein ggT von a und b. Zeigen sie die folgenden definierenden Eigenschaften eines ggT: c teilt sowohl a als auch b.

Ansatz: Für mich ist das etwas zu abstrakt. Oft sind es solche einleuchtenden Beweise die ich am schwierigsten finde. Wenn c als der ggT definiert ist sagt mir mein Kopf "natürlich teilt dieser dann a und b", aber dass formal auszudrücken ist immer schwierig für mich. Wie würde man denn Teilbarkeit definieren? Würde man einfach sagen dürfen, dass es $k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Z}$ gibt, sodass $k_{1} \cdot c = a$ bzw. $k_{2} \cdot c = b$ ist?
Ja, das ist richtig.

Korrektur: Es ist fast richtig. Die Faktoren $k_1, k_2$ sollten aus dem Ring $R$ stammen, nicht aus $\IZ$. Das hatte ich übersehen.

Aber eigentlich solltet ihr Teilbarkeit und ggT in Ringen vorher definiert haben, sonst kann man so eine Aufgabe ja schlecht stellen. Es fehlt hier übrigens noch eine wesentliche Bedingung dafür, dass $c$ ein ggT ist: Für alle $d$ gilt: Falls $d$ Teiler von $a$ und $b$ ist, so ist $d$ auch ein Teiler von $c$. Ohne das ist $c$ zwar ein gemeinsamer Teiler, aber nicht unbedingt ein "größter".


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Ringe' von ligning]


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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


2020-07-06 15:24 - ligning in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo!

2020-07-06 14:20 - MePep im Themenstart schreibt:
1. $I$ wie oben definiert ist das kleinste Ideal, das a und b enthält.

Ansatz: Mein Ansatz zu diesem Teil der Aufgabe bezieht sich auf der Definition einer erzeugten Untergruppe. Laut Definition ist $\langle a,b \rangle$ die kleinste Untergruppe von (R,+) welche a und b enthält. Zeige ich nun also die Mengengleichheit, also dass $\langle a,b \rangle$ = $I$ ist, so hätte ich die kleinste Untergruppe welche gleichzeitig auch dem Ideal entspricht und die Aussage wäre gezeigt oder?
Nein. Ich weiß nicht, wieso du überhaupt mit der erzeugten Untergruppe argumentieren willst, hier ist doch von Gruppen und Untergruppen überhaupt nicht die Rede, sondern von Ringen und Idealen. Es ist zwar leider so, dass die Notation $\langle \ldots \rangle$ für alle möglichen "erzeugten" Unterstrukturen -- Untergruppen, Ideale, Untervektorräume ... -- benutzt wird, aber die Aufgabenstellung benutzt diese Notation ja anscheinend gar nicht, sondern spricht in Prosa vom "kleinsten Ideal, das $a$ und $b$ enthält".

Vielleicht brauchst du auch ein Beispiel, das zeigt, dass das falsch ist. Betrachte den Ring $\IQ$ mit $a=1$ und $b=2$. Die von $a$ und $b$ erzeugte Untergruppe (von $(\IQ,+)$) ist $\IZ$. Das von $a$ und $b$ erzeugte Ideal ist jedoch $\IQ$, denn jedes $p/q\in\IQ$ lässt sich ja schreiben als $(p/q) \cdot a + 0\cdot b$. (Der Unterschied ist, dass die Koeffizienten $k$ und $l$ aus dem Ring kommen können, nicht nur aus $\IZ$, wie es bei der erzeugten Untergruppe einer abelschen Gruppe wäre.)

Du sollst hier zeigen, dass $I$ gleich dem Durchschnitt aller Ideale ist, die $a$ und $b$ enthalten, d.h.: $I$ ist ein Ideal, $I$ enthält $a$ und $b$, und wenn $J$ ein Ideal ist, dass $a$ und $b$ enthält, dann ist $I\subseteq J$.


2. Falls es ein $c \in R$ gibt, sodass für $I$ von oben gilt: $I = \{r \cdot c\}$ so ist c ein ggT von a und b. Zeigen sie die folgenden definierenden Eigenschaften eines ggT: c teilt sowohl a als auch b.

Ansatz: Für mich ist das etwas zu abstrakt. Oft sind es solche einleuchtenden Beweise die ich am schwierigsten finde. Wenn c als der ggT definiert ist sagt mir mein Kopf "natürlich teilt dieser dann a und b", aber dass formal auszudrücken ist immer schwierig für mich. Wie würde man denn Teilbarkeit definieren? Würde man einfach sagen dürfen, dass es $k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Z}$ gibt, sodass $k_{1} \cdot c = a$ bzw. $k_{2} \cdot c = b$ ist?
Ja, das ist richtig. Aber eigentlich solltet ihr Teilbarkeit und ggT in Ringen vorher definiert haben, sonst kann man so eine Aufgabe ja schlecht stellen. Es fehlt hier übrigens noch eine wesentliche Bedingung dafür, dass $c$ ein ggT ist: Für alle $d$ gilt: Falls $d$ Teiler von $a$ und $b$ ist, so ist $d$ auch ein Teiler von $c$. Ohne das ist $c$ zwar ein gemeinsamer Teiler, aber nicht unbedingt ein "größter".


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Ringe' von ligning]

Zur 1: Danke, das werde ich so probieren. Da hab ich wohl an was falsches gedacht.

Zu 2: Nope, wir haben den ggT innerhalb dieser Aufgabe überhaupt das erste mal erwähnt (bezogen auf die vorherigen Aufgaben)... deswegen bin ich auch mal wieder ziemlich verloren. Wir hatten Ringhomo- und Ringisomorphismen, Quotientengruppen aber allgemein über Teilbarkeit in Ringen und dem ggT haben wir rein gar nichts im Skript gehabt. Der ggT kommt im Skript vor, damit wird aber um sich geworfen ohne diesen auch nur einmal einzuführen. Die zweite Bedingung mit dem d gehört auch zur Aufgabe, ich habe sie nur weggelassen da ich erst einmal überhaupt verstehen wollte wie man die erste Aussage beweist bevor ich mich dieser dann widme. Jedenfalls wüsste ich keine bessere Lösung, ich habe mal Online nachgeschlagen, da wurde teils auch viel über Primfaktorzerlegung gesprochen, was wir aber auch nicht betrachtet haben. Insgesamt haben wir immer ziemlich wenig Sätze mit denen wir arbeiten können, leider.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Wäre ein besserer Ansatz für die 1, auf die Eigenschaften des Ideals als additiver Untergruppe einzugehen? Also einen Beweis ungefähr so anzufangen:

Nehme ich mal an, ein Ideal J enthält a und b, dann... und dies am Ende zu einer Mengengleichheit zu führen?

Oder als Alternative, man nehme an J wäre ein kleineres Ideal welches a und b enthält... und dies zu einem Widerspruch zu führen?

Mfg



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-06


2020-07-06 15:48 - MePep in Beitrag No. 2 schreibt:
Zu 2: Nope, wir haben den ggT innerhalb dieser Aufgabe überhaupt das erste mal erwähnt (bezogen auf die vorherigen Aufgaben)... deswegen bin ich auch mal wieder ziemlich verloren. Wir hatten Ringhomo- und Ringisomorphismen, Quotientengruppen aber allgemein über Teilbarkeit in Ringen und dem ggT haben wir rein gar nichts im Skript gehabt. Der ggT kommt im Skript vor, damit wird aber um sich geworfen ohne diesen auch nur einmal einzuführen. Die zweite Bedingung mit dem d gehört auch zur Aufgabe, ich habe sie nur weggelassen da ich erst einmal überhaupt verstehen wollte wie man die erste Aussage beweist bevor ich mich dieser dann widme. Jedenfalls wüsste ich keine bessere Lösung, ich habe mal Online nachgeschlagen, da wurde teils auch viel über Primfaktorzerlegung gesprochen, was wir aber auch nicht betrachtet haben. Insgesamt haben wir immer ziemlich wenig Sätze mit denen wir arbeiten können, leider.

Nun, wie dem auch sei, die Bedeutung von Teilbarkeit hast du weitestgehend richtig erfasst (siehe meine Korrektur im vorherigen Posting), und mehr Wissen braucht man hier auch nicht.



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