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Analysis » Funktionentheorie » Bestimmen einer Laurent-Entwicklung
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Universität/Hochschule J Bestimmen einer Laurent-Entwicklung
Zerakiin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-06


Hallo!
Ich hänge derzeit an der folgenden Aufgabe:

Finden Sie die Laurent-Entwicklung der Funktion

\(f(z):=\frac{1}{(z + 2)^{3}(z^{2} + 1)}\)

um \(z_{0} = -2\).
Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der gefundenen Laurent-Reihe.

Im Skript steht zu den Koeffizienten \(a_{k}\) von Laurent-Reihen:

\(a_{k}:=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta^{k+1}}d\zeta \),
 wobei \(\gamma\) eine Parameterisierung der einmal positiv durchlaufenen Kreislinie \(\partial B_{r_{0}}(z_{0})\), für ein \(r_{0}\in\mathbb{R}\) ist.

Müsste das nicht allerdings bedeuten, dass, solange es nicht konstant ist, das Integral immer gleich null ist? (Da ja \(\gamma (a)=\gamma (b)\) ist, falls die Parameterisierung auf dem Intervall von a bis b definiert ist)

In jeglichem Fall wäre ich froh über Hilfe um die Aufgabe zu verstehen.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-06


Hallo,

an deiner Stelle würde ich erst einmal eine (komplexe) Partialbruchzerlegung machen. Dann sehen wir weiter :)



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Zerakiin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Hoi, schon mal vielen Dank, dass du mir helfen magst.
Für die Partialbruchzerlegung habe ich folgendes bekommen:
\(\frac{1}{(z+2)^{3}(z^{2}+1)}=\frac{11}{125(z+2)}+\frac{4}{25(z+2)^{2}}+\frac{1}{5(z+2)^{3}}-\frac{\frac{11}{250}-\frac{i}{125}}{z+i}-\frac{\frac{11}{250}+\frac{i}{125}}{z-i}\)



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-06


2020-07-06 16:50 - Zerakiin in Beitrag No. 2 schreibt:
Hoi, schon mal vielen Dank, dass du mir helfen magst.
Für die Partialbruchzerlegung habe ich folgendes bekommen:
\(\frac{1}{(z+2)^{3}(z^{2}+1)}=\frac{11}{125(z+2)}+\frac{4}{25(z+2)^{2}}+\frac{1}{5(z+2)^{3}}-\frac{\frac{11}{250}-\frac{i}{125}}{z+i}-\frac{\frac{11}{250}+\frac{i}{125}}{z-i}\)

Super, ich habe es nicht nachgerechnet. Die ersten drei Terme gehören schon zur Laurent-Entwicklung.

Nun ist
\[\frac{1}{z+i}=\frac{1}{(i-2)+(z+2)}=\frac{\frac{1}{i-2}}{1+\frac{z+2}{i-2}}.\] An der Stelle kann man etwas mit der geometrischen Reihe machen. Diese konvergiert für $|z+i|<1$.

Andererseits ist aber auch
\[\frac{1}{z+i}=\frac{1}{(z+2)+(i-2)}=\frac{\frac{1}{z+2}}{1+\frac{i-2}{z+2}}.\] An der Stelle kann man etwas mit der geometrischen Reihe machen. Diese konvergiert für $|z+i|>1$.

Welche wirst du brauchen?

Edit z+i statt z+2





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Zerakiin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Da die Laurent-Reihe in einer Umgebung von z=-2 konvergieren soll, würde ich

\(\frac{1}{z+i}=\frac{\frac{1}{i-2}}{1+\frac{z+2}{i-2}}\)

wählen.

Ich nehme an, man kann zudem \(\frac{1}{z-i}=\frac{-\frac{1}{i-2}}{1- \frac{z+2}{i-2}}\) für den zweiten Term verwenden?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-06


Es muss z+i statt z+2 heißen, sorry.



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Zerakiin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


In dem Fall würde ich \(\frac{\frac{1}{z+2}}{1+\frac{i-2}{z+2}}\) wählen, da ja die Laurent-Reihe in einer Umgebung von z=-2 konvergieren soll.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-06


Huhu,

bei der Berechnung der Reihe will ich nicht stören, da hat ochen ja den Weg vorgegeben. Nur noch zu deinem Integral: Fehlt da nicht noch ein \(i\) im Nenner des Faktors vor dem Integral? Du kannst ja hinterher damit vergleichen. Das wäre der Koeffizient für \(a_0\). Wenn du die Null im Nenner änderst, kannst du dir die anderen Koeffizienten berechnen.

Gruß,

Küstenkind



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Zerakiin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-07


Hallo Kuestenkind,
Da hast du natürlich total recht, da muss mir das i weggreutscht sein beim tippen. Habe ich oben korrigiert.
Vielen Dank!



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