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Universität/Hochschule Implikation von Mengen
AlphaOmega12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-06


Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu einem kleinen Beweis. Wir haben abgeschlossene Teilräume \(V_j \) für \(j \in \mathbb{Z}\) des \(L^2(\mathbb{R})\), es gilt für eine Funktion \(\phi \in L^2\) die Identität

\[V_0 = \{f \in L^2 | f(t) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k \phi(t-k), \sum_{k\in \mathbb{Z}} |c_k|^2 < \infty \} \, ,\]
sowie

\[f \in V_j \Leftrightarrow f(2^j \cdot ) \in V_0 \, .\]
Zu zeigen ist, dass aus \(V_0 \subset V_{-1} \) schon \(V_j \subset V_{j-1}\) für alle \(j \in \mathbb{Z}\) folgt.
Meine Beweisidee:

Setzen wir \(D_2f(t) = f(\frac{1}{2^j} t) \), so folgt aus den Voraussetzungen für beliebiges \(j \in \mathbb{Z}\)

\[ V_j = D_{2^j}(V_0) = \{D_{2^j}f \, | \, f \in V_0\}
\subset \{D_{2^j}f \, | \, f \in V_{-1}\} = \{D_{2^j}f \, | \, D_2f \in V_0\} \\
= \{D_{2^{j-1}}f \, | \, f \in V_0\} = V_{j-1} \, .\]
Das wäre dann die Behauptung, mir kommt das allerdings viel zu einfach vor. Kann da jemand drüber schauen ?

Mit besten Grüßen



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-07


Hey AlphaOmega12,

deine Rechnung stimmt. Etwas einfacher und übersichtlicher wäre es wohl so gewesen:

\(f \in V_j \Rightarrow f(2^j \cdot) \in V_0 \Rightarrow f(2^j \cdot) \in V_{-1} \Rightarrow f(2^{j-1} \cdot) \in V_0 \Rightarrow f \in V_{j-1}\)



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