Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Integration » Integral über n-fachen Pol
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Integral über n-fachen Pol
Newmath2012
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.09.2013
Mitteilungen: 405
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-06 19:21


Hallo,

gegeben das Integral [latex]\int_{\gamma}\frac{f(w)}{(z-w)^n}dw[/latex] mit holomorphen f und Zykel $\gamma$, wie berechnet man das Integral?

Der Residuensatz ist ja nicht anwendbar, weil da der Zykel keine Polstelle des Integranden treffen darf?
Vom Aussehen her erinnert es mich an die Umlaufszahlversion der Cauchyschen Integralformel, aber bei der steht im Nenner ja nur (z-a), also n=1 und nicht allgemeines n?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1724
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-06 19:43


Linkkomplexwertige Kurvenintegrale

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Newmath2012
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.09.2013
Mitteilungen: 405
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06 19:50


Hallo Kuestenkind,

der verlinkte Thread hat meine Frage leider nicht beantwortet. Ich habe zwar gesehen, dass das Integral, wäre der Zykel einfach ein Kreisrand, die n-te Ableitung von f ergeben würde, aber für mein allgemeineres Beispiel hat es mich nicht weitergebracht.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1724
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-06 20:20


Verstehe ich nicht... Die Cauchy-Integralformel fordert eine einfache geschlossene Kontur. Das muss doch kein Kreis sein. Was ein Zykel ist kannst du dort nachlesen:



Und darauf kannst du doch die Integralformel loslassen, das hat Buri dort auch schon festgestellt:

Link1-Zykel

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Newmath2012
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.09.2013
Mitteilungen: 405
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06 20:29


Hallo Küstenkind,

was ein Zykel ist, ist mir schon klar, ich arbeite eh genau mit dem von dir verlinkten Buch.
Dort ist bei der Umlaufszahlversion der Cauchyschen Integralformel im Nenner aber nur n=1. Und falls wir, um sie anwenden zu können, die restlichen n-1 Faktoren zum Zähler dazuzählen, dann ist die entstehenden Funktion nicht mehr holomorph (weil sie ja dann eine (n-1)-fache Polstelle in z hat) und somit die Cauchysche Integralformel (wie eben in dem Buch von Jänich auf S. 72 angegeben) erst recht nicht mehr anwendbar.

Darum hatte ich gedacht, vlt. f in eine Potenzreihe zu entwickeln, die n Faktoren aus dem Nenner dazuzuziehen, wodurch man eine Laurentreihe bekommt und dann den Residuensatz anzuwenden. Klingt das sinnvoll?

Allerdings darf beim Residuensatz der Zykel $\gamma$ keine der Singularitäten treffen und hier ist nicht explizit angegeben, dass $\gamma$ w nicht trifft. Gibt es also auch eine Möglichkeit für die Berechnung im Falle, dass $\gamma$ w trifft?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8812
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-06 21:02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Wenn \( \gamma\) die Polstelle \( w\) trifft, existiert das Integral einfach nicht.

Man kann den Residuensatz nehmen oder die allgemeine Cauchysche
Integralformel, blätter mal etwas nach vorne im Buch.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Newmath2012
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.09.2013
Mitteilungen: 405
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06 23:15


Hallo Wally,

danke für deine Antwort.

Ich weiß leider nicht, was du mit allgemeiner Causchyschen Integralformel meinst. Die allgemeinste im Buch ist die für Bilder von Rechtecken, die aber die Holomorphie des Integranden fordert und somit hier nicht anwendbar ist?

Dann gibt es noch den Laurenreihenentwicklungssatz, aber der ist wiederum nur für eine Kreisscheibe...?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Newmath2012
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.09.2013
Mitteilungen: 405
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06 23:18


Aber wenn man den Residuensatz nimmt, dann entspricht das Integral einfach $Res_z f(w)/(z-w)^n$, also dem (-1)-ten Koeffizienten der Laurenreihenentwicklung von $(-1)^nf(w)/(w-z)^n$, richtig? Oder ist es hier der (-n)-te Koeffizient, weil der Pol Ordnung n und nicht 1 hat?
EDIT: Der letzte Teil der Frage hat sich erledigt, es gibt ja die Residuenformel für Pole, nach der man das Residuum eines Pols der Ordnung n über die (n-1)-te Ableitung bestimmen kann.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Newmath2012 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]