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Lineare Algebra » Eigenwerte » Wie kann man diesen Beweis verstehen?
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Universität/Hochschule Wie kann man diesen Beweis verstehen?
daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-10 10:47


Hi, ich versuche gerade einen Lösungsansatz zu dieser Aufgabe nachzuvollziehen. Es wird hier argumentiert, dass dass man beweisen muss, dass für jedes i genau ein Unterraum mit dim(U)=1 existiert und dass letztendlich L(b1) der Eigenraum zu f|vi ist , wobei B{b1...bl} eine Basis von f|vi ist.



Aber ich verstehe den Zusammenhang zu f|vi nicht und auch nicht wieso L(b1) ein Eigenraum sein soll...Könnet ihr mir bitte helfen, dass zu verstehen?
LG



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-10 11:38


Hallo,

wie viele verschiedene Eigenwerte gibt es?
Wie sieht also die JNF aus?

Eigentlich steht es schon fast da.

Du könntest noch den Lösungsansatz, von dem du sprichst, mit allen Details hinschreiben.

mfg
thureduehrsen



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10 11:51


Hi, danke für deine Antwort. An der Form des Minimalpolynomy kann man ja ablesesn, dass es nur einen Eigenwert $\lambda$ gibt und der größte Block die Dimension $r$ hat.



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11 09:07


Dass heißt doch eigentlich, dass der r-dimensonale Jordan Block, den es gibt auchder einzige sein müsste, oder? Aber irgendwie verstehe ich nicht, was die f-zyklischen Räume damit zu tun haben...



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-11 09:29


2020-07-11 09:07 - daenerystargaryen in Beitrag No. 3 schreibt:
Dass heißt doch eigentlich, dass der r-dimensonale Jordan Block, den es gibt auchder einzige sein müsste, oder?

Nein, das heisst:
1. Es gibt mindestens ein Jordan-Kästchen der Kantenlänge $r$.
2. Alle Jordan-Kästchen habe eine Kantenlänge $\le r$.

2020-07-11 09:07 - daenerystargaryen in Beitrag No. 3 schreibt:
Aber irgendwie verstehe ich nicht, was die f-zyklischen Räume damit zu tun haben...

Jedes Jordan-Kästchen entspricht einem der $f$-zyklischen Unterräume aus der direkten Summe der Aufgabenstellung.



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11 10:31


Hallo,
ich glaube ich komme hier leider immer noch nicht auf den springenden Punkt.
Sagen wir man müsste die Gestalt der Jordan Normalform angeben, dann gäbe es mindestens einen Jordan Block der Größe r und k vielen Blöcken (da es ja k viele f-zyklische Räume gibt). Aber was hat das ganze mit den Eigenräumen zu tun?

Ich weiß dass die Dimenson der Eigenräume die Anzahl der Blöcke zu einem Eigenwert angibt und wenn ich zeigen soll, dass diese eindimensional sind es aber nur einen Eigenwert gibt, dürfte es doch nur einen Jordanblock geben, oder?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-11 10:35


2020-07-11 10:31 - daenerystargaryen in Beitrag No. 5 schreibt:
und wenn ich zeigen soll, dass diese eindimensional sind es aber nur einen Eigenwert gibt, dürfte es doch nur einen Jordanblock geben, oder?

Nein, lies dir die Aufgabe nochmal durch. Du sollst nicht zeigen, dass der gesamte Eigenraum zum Eigenwert $\lambda$ eindimensional ist, sondern dass jeder der $f$-zyklischen Unterräume einen eindimensionalen Eigenraum zum Eigenwert $\lambda$ enthält.

Und da diese $f$-zyklischen Unterräume Kästchen der Form$$ \begin{pmatrix}
\lambda&1&0&\cdots&0\\
0&\lambda&1&\cdots&0\\
0&0&\lambda&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&\lambda\\
\end{pmatrix}$$entsprechen, muss du eigentlich nur den Eigenraum so eines Kästchens finden.



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11 11:37


Hi, vielen Dank für die Antwort und dass du dir die Mühe gemacht hast, die Form der f-zyklsichen UNterräume aufzuschreiben. Jetzt verstehe ich auch den Aufbau der JNF:)
Ich muss hier doch sogar die Dimension des Eigenraums gar nicht spezifisch "berechnen", sondern kann doch eigentlch direkt ablesen, dass der Eigenraum, wegen den $\lambda$ auf der Diagonalen eindimensional ist, oder?
Und weißt du vielleicht noch, wie man auf die Basis kommt, bzw speziell auf L(b1)? Das liegt doch daran, dass (wie man ja auch in deiner Darstellung sieht) das erste Lambda (in der oberen linken Ecke) alleine steht, oder?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-11 12:22


2020-07-11 11:37 - daenerystargaryen in Beitrag No. 7 schreibt:
Und weißt du vielleicht noch, wie man auf die Basis kommt, bzw speziell auf L(b1)?

Die Konstruktion dieser Basis hängt direkt damit zusammen, dass dieses Kästchen die Einschränkung von $f$ auf einen $f$-zyklischen Unterraum darstellt.

$f$-zyklisch bedeutet ja, dass ein Vektor $z$ existiert, so dass die Vektoren $z,f\,z,f^2z,\ldots$ den gesamten Unterraum aufspannen. Dieser Vektor hat die Eigenschaft, dass noch $(f-\lambda)^{d-1}z\ne0$ ist und erst $(f-\lambda)^dz$ verschwindet, wobei $d$ die Dimension des Unterraums ist.

Die Basis, in der $f$ auf dem $f$-zyklischen Unterraum die Form eines Jordan-Kästchens hat, ist$$ b_d=z,\;b_{d-1}=(f-\lambda)\,z,\;b_{d-2}(f-\lambda)^2z,\;\ldots,\;b_1=(f-\lambda)^{d-1}z\;,$$wobei $d$ die Dimension des Unterraums ist.

2020-07-11 11:37 - daenerystargaryen in Beitrag No. 7 schreibt:
Das liegt doch daran, dass (wie man ja auch in deiner Darstellung sieht) das erste Lambda (in der oberen linken Ecke) alleine steht, oder?

Genau:$$f\,b_1=\bigl[(f-\lambda)+\lambda\bigr]\,(f-\lambda)^{d-1}z=
(f-\lambda)^dz+\lambda\,(f-\lambda)^{d-1}z=\lambda\,(f-\lambda)^{d-1}z=
\lambda\,b_1$$



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11 12:42


Wow, vielen Dank für die super Erklärung. Ich denke ich habe es jetzt verstanden :)



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11 15:21


Das ist weniger eine inhaltliche Frage, aber kennt vielleicht jemand noch typische andere Aufgaben im Zusammenhang mit f-zyklischen Räumen? Ich habe leider dazu nur diese Aufgabe..:/



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