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Mathematik » Stochastik und Statistik » Mehrdimensionale Zufallsvariable in Ellipse gleichverteilt
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Universität/Hochschule Mehrdimensionale Zufallsvariable in Ellipse gleichverteilt
Xator_Nova
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-12 19:34


Hallo, ich habe folgende Aufgabe bekommen, und würde gerne etwa Hilfe haben




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-12 20:14


2020-07-12 19:34 - Xator_Nova im Themenstart schreibt:
Soweit ich gesucht habe, sind diese Zufallsvariablen bei Ellipsen korreliert, und dadurch auch nicht unabhängig.

Um zu sehen, dass $X_1$ und $X_2$ unkorreliert sind, reicht ein einfaches Symmetrieargument (betrachte die Transformation $X_1\mapsto-X_1$).

--zippy



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-12 20:35


Moin, bei a) reicht das Gleichverteilungsargument.

Bei b) steht in der Kovarianzmatrix rechts oben eine Null, also ist $\operatorname{Cov}[X_1,X_2]=0$. Damit sind $X_1$ und $X_2$ unkorreliert.

vg Luis



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Xator_Nova
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12 21:07


2020-07-12 20:14 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-07-12 19:34 - Xator_Nova im Themenstart schreibt:
Soweit ich gesucht habe, sind diese Zufallsvariablen bei Ellipsen korreliert, und dadurch auch nicht unabhängig.

Um zu sehen, dass $X_1$ und $X_2$ unkorreliert sind, reicht ein einfaches Symmetrieargument (betrachte die Transformation $X_1\mapsto-X_1$).

--zippy
Mir ist leider nicht klar, wie ich diese Transformation machen soll 🙁

2020-07-12 20:35 - luis52 in Beitrag No. 2 schreibt:
Moin, bei a) reicht das Gleichverteilungsargument.

Bei b) steht in der Kovarianzmatrix rechts oben eine Null, also ist $\operatorname{Cov}[X_1,X_2]=0$. Damit sind $X_1$ und $X_2$ unkorreliert.

vg Luis
Wenn es der Fall ist, dann reicht dies und der Produkt der Randdichten, das ich am Anfang geschrieben habe, um nachzuweisen, dass die Zufallsvariablen unkorreliert aber nicht unabhängig sind?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-12 21:19


2020-07-12 21:07 - Xator_Nova in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn es der Fall ist, dann reicht dies und der Produkt der Randdichten, das ich am Anfang geschrieben habe, um nachzuweisen, dass die Zufallsvariablen unkorreliert aber nicht unabhängig sind?

Ja.

vg Luis



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Xator_Nova
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12 21:26


2020-07-12 21:19 - luis52 in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-07-12 21:07 - Xator_Nova in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn es der Fall ist, dann reicht dies und der Produkt der Randdichten, das ich am Anfang geschrieben habe, um nachzuweisen, dass die Zufallsvariablen unkorreliert aber nicht unabhängig sind?

Ja.

vg Luis

Vielen Dank! 😃



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-12 22:24


2020-07-12 21:07 - Xator_Nova in Beitrag No. 3 schreibt:
Mir ist leider nicht klar, wie ich diese Transformation machen soll 🙁

Betrachte die Spiegelung $m\colon (x_1,x_2)\mapsto(-x_1,x_2)$:
1. Da $m$ eine Bewegung ist, die die Ellipse $S$ in sich überführt, ist das Bildmaß der Gleichverteilung auf $S$ unter $m$ wieder die Gleichverteilung auf $S$, d.h. für eine beliebige Zufallsvariable $Y$ gilt $E[Y\circ m]=E[Y]$.
2. Für die Zufallsvariable $Y=X_1X_2$ gilt $Y\circ m=-Y$ .

Aus 1. und 2. folgt $E[Y]=\operatorname{Cov}(X_1,X_2)=0$.



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