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Mathematik » Analysis » Zeigen sie, dass die Gleichung sich in einer Umgebung des Punktes (R, 0, r) ∈ℝ³ eindeutig nach z auflösen lässt
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Universität/Hochschule Zeigen sie, dass die Gleichung sich in einer Umgebung des Punktes (R, 0, r) ∈ℝ³ eindeutig nach z auflösen lässt
f4lk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-12 19:51


Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Seien R>r>0 und die Gleichung

(sqrt(x2 + y2) - R)2 + z2 = r2

Zeigen sie, dass die Gleichung sich in einer Umgebung des Punktes (R, 0, r) ∈ℝ3 eindeutig nach z auflösen lässt. Bestimmen Sie ferner für g(x,y)=z die partielle Ableitungen am Punkt (R,0).



Ich verstehe nicht was das R zu bedeuten hat und von wo das kommt. Im Skript finde ich leider auch keine hilfe dafür. Ist das einfach eine Funktion mit 5 Variablen?



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-12 21:08


Huhu f4lk,

\(R\) und \(r \) sind einfach Parameter, also aus \(\mathbf{R}\), mit \(R>r>0\). Falls du weitere Hilfe benötigst benutze bitte \(\LaTeX\).

Gruß,

Küstenkind



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f4lk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13 16:33


Ich habe versucht den Satz jetzt anzuwenden bin mir aber mit meinem Ergebnis nicht sicher.

Ich habe die Funktion Fr,R:ℝ3→ℝ,(x,y,z)↦(\( \sqrt{x2+y2} \)−R)2+z2−r2.

Wenn ich den Punkte (R,0,r) einsetze kommt (R-R)2+r2-r2 raus also = 0

Hier muss ich doch dann die Invertierbarkeit für die Ableitung nach z prüfen. Diese ist 2z und mit dem Punkt eingesetzt 2r, da r>0 ist die Voraussetzung für den Satz der Impliziten Funktion erfüllt, also lässt sich die Funktion im Punkt (R,0,r) eindeutig nach z auflösen.

Jetzt habe ich die Ableitungen von F nach x gemacht, aber habe dort 2x-\( \frac{2xR}{\sqrt{x^2+y^2}} \) und nach y = 2y-\( \frac{2yR}{\sqrt{x^2+y^2}} \).

Wenn ich für diese Ableitungen den Punkt einsetze bekomme ich 0 Raus. Dann habe ich als partielle Ableitungen für g(x,y)=z: -\( \frac{1}{2r} \)*(0,0)

Ich weiß nicht ob meine Ableitungen falsch sind oder ob ich den Satz falsch angewandt habe...



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f4lk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13 18:03


Kann es sein, dass ich die Gleichung \( \sqrt{x^2 + y^2} \) - R)2 + z2 = r2 einfach nur nach z umstellen muss um g zu haben?

Dann habe ich die Funktion g(x,y)= \( -\sqrt{ - r^2\sqrt{x^2 + y^2} \ - R)^2 } \)

Die Ableitung nach x ist dann \(-\dfrac{x\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{-\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)^2-r^2}}\)



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