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Universität/Hochschule J Grenzwert
3marco6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-12


Hallo, ich weiß dass der Grenzwert folgender Folge e^3 / 8 ist, wie kommt man aber darauf?
hospital darf man ja nicht anwenden, wie sonst?



vielen dank im voraus!



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-12


Hallo

Ich habe einen anderen Grenzwert als du. Woher hast du diese Lösung? Hopital dürfte hier nicht funktionieren, benutze am besten Reihen.

Gruß Caban



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3marco6
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12


sry habe mich verschrieben der Grenzwert ist - e^3 / 8.
wie meinst du Reihen benutzen beim Grenzwert einer Folge?

und danke für die antwort!



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Caban
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Mitteilungen: 1146
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-12


Hallo

Stelle den Zähler als Potenzreihe dar, dann kannst du x kürzen.

Gruß Caban



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo zusammen,

@Caban:
2020-07-12 22:38 - Caban in Beitrag No. 3 schreibt:
Stelle den Zähler als Potenzreihe dar, dann kannst du x kürzen.

So einfach geht das hier nicht. Der Term \((1+x)^{1/x}\) ist an der Stelle \(x=0\) nicht definiert. Genau dort sollte man aber die Reihenentwicklung machen, damit es etwas bringt.

Ergo muss man ersteinmal klären, ob und falls ja warum das trotz Definitionslücke möglich ist...

@3marco6:
Der Grenzwert \(-\frac{e^3}{8}\) ist richtig. Und wenn hier von Reihen die Rede ist, dann ist die Entwicklung des Wurzelterms in eine Potenzreihe gemeint.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Grenzwerte' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-12


2020-07-12 21:51 - Caban in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo

Ich habe einen anderen Grenzwert als du. Woher hast du diese Lösung? Hopital dürfte hier nicht funktionieren, benutze am besten Reihen.

Gruß Caban


Hallo Caban,


eine Krankenhausbehandlung als Grenzwertberechnung ist möglich, wenngleich sie doch recht aufwendig ist und ein wenig einem Hals- und Beinbruch gleicht, da l'Hospital zweimal angewendet werden muss. Aber zur Übung wäre es für unseren Themenstarter sicherlich nicht verkehrt, in 10 Minuten hatte ich die Lösung.

Es ist zunächst einmal $\lim_{x \to 0} \left(\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x}\right) = \left(\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x}\right)^{3}$ wegen der Stetigkeit der Funktion $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^{3}$.

Zu berechnen ist also der Grenzwert $L:= \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x}$, $L^{3}$ ist dann unser gesuchter Grenzwert.

Ist $\lim_{x \to 0}$, so ist $\lim_{t \to \pm \infty}$ für $t:= \frac{1}{x}$. Wir erhalten:

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \lim_{t \to \pm \infty} \frac{(1+\frac{1}{t})^{t} - e}{\frac{1}{t}}$, und wie wir sehen, gilt sowohl für den Zähler als auch für den Nenner $"\frac{0}{0}"$, was die Anwendungsmöglichkeit von l'Hospital legitimiert.

Berechnest du $\lim_{t \to +\infty}$, so ergibt sich $\lim_{t \to -\infty}$ daraus, wie sich leicht zeigen lässt.

VG X3nion



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-12


Huhu,

es hilft hier - wie so oft - der \(\exp(\ln(\ldots))\) "Trick". Genauer:

\(\displaystyle (1+x)^{1/x}=\exp\left(\frac{1}{x}\ln(1+x)\right)\)

Nun kannst du \(\exp(x) \in 1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^3)\) sowie \(\ln(1+x) \in  x − \frac{x^2}{2} + o(x^3)\) für \(x\to 0\) nutzen. Viel Erfolg!

Gruß,

Küstenkind



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