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Mathematik » Stochastik und Statistik » Unabhängigkeit Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule J Unabhängigkeit Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen
shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-13


Hey:),

Ich tue mich bei folgender Aufgabe gerade ein wenig schwer, vielleicht könnt ihr mir ja helfen.

Es seien $X,Y:\Omega \to \{0,1\}$ zwei Zufallsvariablen mit $X$~ $Bernoulli(\frac{1}{2})$ und $Y$~$Bernoulli(\frac{3}{4})$. Weiter sei $P(X=Y=0)=\frac{1}{4}$
Erstmal bin ich mir nicht sicher was genau bedeutet $P(X=Y=0)$, also heißt das quasi $P(X=0 \textrm{und} Y=0)$?
a) Sind $X$ und $Y$ unabhängig?
Dafür muss ich dann jeweils $P(Y=0)P(X=0)=P(X\cap Y=0)$ und $P(X=1)P(Y=1)=P(X=1\cap Y=1)$
b)Bestimmen Sie die Verteilung von $XY$ naja $XY$ kann ja auch nur die Werte $0$ und $1$ annehmen muss ich dann $P(XY=1$ und $P(XY=0)$ berechnen?
c)Berechnen Sie $E[X-Y]$ und $Var(X-Y)$
das ist dann relativ einfach den Erwartungswert kann ich auseinanderziehen
und die Varianz auch ,wenn es unabhängig ist



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hi shirox,

2020-07-13 17:53 - shirox im Themenstart schreibt:
Es seien $X,Y:\Omega \to \{0,1\}$ zwei Zufallsvariablen mit $X$~ $Bernoulli(\frac{1}{2})$ und $Y$~$Bernoulli(\frac{3}{4})$. Weiter sei $P(X=Y=0)=\frac{1}{4}$
Erstmal bin ich mir nicht sicher was genau bedeutet $P(X=Y=0)$, also heißt das quasi $P(X=0 \textrm{und} Y=0)$?

Ja nun, was auch sonst? 😉

2020-07-13 17:53 - shirox im Themenstart schreibt:
a) Sind $X$ und $Y$ unabhängig?
Dafür muss ich dann jeweils $P(Y=0)P(X=0)=P(X\cap Y=0)$ und $P(X=1)P(Y=1)=P(X=1\cap Y=1)$

Es reicht aber ein Wert, für den \(P(X=Y=k)\neq P(X=k)\cdot P(Y=k)\), und aus ist es mit der Unabhängigkeit...

2020-07-13 17:53 - shirox im Themenstart schreibt:
b)Bestimmen Sie die Verteilung von $XY$ naja $XY$ kann ja auch nur die Werte $0$ und $1$ annehmen muss ich dann $P(XY=1$ und $P(XY=0)$ berechnen?

Ja.

2020-07-13 17:53 - shirox im Themenstart schreibt:
c)Berechnen Sie $E[X-Y]$ und $Var(X-Y)$
das ist dann relativ einfach den Erwartungswert kann ich auseinanderziehen
und die Varianz auch ,wenn es unabhängig ist

Wenn...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13


Vielen Dank!
Wie ich deiner Antwort entnehmen kann, sind die nicht unabhängig das werde ich gleich mal verifizieren.
Und falls sie nicht unabhängig sind brauche ich noch die Kovarianz für $V[X-Y$
Also rechne ich dann $Var(X+(-Y))=Var(X)+Var(-Y)+Cov(X,y)=Var(X)+(-1)^2 Var(Y)+Cov(X,Y)$ oder?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-13


2020-07-13 18:25 - shirox in Beitrag No. 2 schreibt:
Vielen Dank!
Wie ich deiner Antwort entnehmen kann, sind die nicht unabhängig das werde ich gleich mal verifizieren.
Und falls sie nicht unabhängig sind brauche ich noch die Kovarianz für $V[X-Y$
Also rechne ich dann $Var(X+(-Y))=Var(X)+Var(-Y)+Cov(X,y)=Var(X)+(-1)^2 Var(Y)+Cov(X,Y)$ oder?

Moin, die alte Bauernregel geht so: $\operatorname{Var}[X\pm Y]=\operatorname{Var}[X]+\operatorname{Var}[Y]\pm2\operatorname{Cov}[X,Y]$.

vg Luis



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13


Ah, stimmt vielen Dank



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14


Ich hab doch noch ein paar Probleme die Verteilung für $XY$ anzugeben, ich kann die Verteilung ja durch eine Angabe einer Zähldichte eindeutig bestimmen, für $\rho(1)=P(X=1 \textrm{oder} Y=1)=P(X=1)+P(Y=1)-P(X=Y=1)=0,5+0,75-0,75=0,5$ da $P(X=Y=1)=1-P(X=Y=0)$
Dann müsste $\rho(0)=0,5$ sein aber das mit der selben Rechnung wie oben komme ich auf einen Wert über $1$ was ja nicht sein kann. Es wäre ja $\rho(0)=P(X=1 \textrm{oder} Y=0)+P(X=0 \textrm{oder} Y=1)
 + P(X=0 \textrm{oder} Y=0)$
Vielleicht könnt ihr mir ja sagen, wo ich gerade einen Denkfehler habe



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-14


2020-07-14 00:04 - shirox in Beitrag No. 5 schreibt:
  Es wäre ja $\rho(0)=P(X=1 \textrm{oder} Y=0)+P(X=0 \textrm{oder} Y=1)
 + P(X=0 \textrm{oder} Y=0)$
Vielleicht könnt ihr mir ja sagen, wo ich gerade einen Denkfehler habe


Moin shirox, noch 'ne schoene Bauernregel: $\overline{((X=1)\cup(Y=1))}=\overline{(X=1)}\cap\overline{(Y=1)}$.

vg Luis



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14


Hm ich versteh es noch nicht ganz, ist dann $\rho(0)$ auch schon falsch berechnet?
Und $P\overline{((X=1)\cup(Y=1))}=\overline{(X=1)}\cap\overline{(Y=1)})=P(X=0 \cap Y=0)=\frac{1}{2}*\frac{3}{4}$
Und gibt es nicht noch die anderen Möglichkeiten für $XY=0$



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-14


Okay, du willst also die Verteilung von $Z=XY$ bestimmen.

$Z$ kann nur die Werte 0 oder 1 annehmen, ist also selbst Bernoulli-verteilt. Es ist $\rho(1)=P(Z=1)=P(X=1\cap Y=1)$ und $\rho(0)=1-\rho(1)$. Dein Ansatz darf also *nicht* lauten $\rho(1)=P(X=1\cup Y=1)$. (Hatte es nicht hinreichend genau gelesen.)

vg Luis



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14


Ah Okay!
$\rho(1)=P(Z=1)=P(X=1\cap Y=1)$
Und nicht wie ich erst falsch dachte dass $P(X=1\cap Y=1)=1-P(X=0 \cap Y=0)$
Sondern mit deiner Bauernregel wolltest du mir sagen dass das $P(X=1\cap Y=1)=1-P(X=0 \cup Y=0)$ wäre

Also brauche ich sowieso erst $\rho(0)=P(X=0 \cup Y=0)=P(X=0)+P(Y=0)-P(X=Y=0)=\frac{1}{2}$
Und somit ist $\rho(1)=\frac{1}{2}$



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-07-14


2020-07-14 09:56 - shirox in Beitrag No. 9 schreibt:
Ah Okay!
$\rho(1)=P(Z=1)=P(X=1\cap Y=1)=P(X=1)*P(Y=1)$

Aber ich kann es ja einfach direkt wie oben berechnen. Oder ist der letzte Teil jetzt wieder Quatsch?

Vorsicht, wieso kannst du $P(X=1\cap Y=1)=P(X=1)\cdot P(Y=1)$ annehmen? Das koenntest du, waeren $X$ und $Y$ unabhaengig, was sie nicht sind. Vorschlag: Schreibe dir mal die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von $(X,Y)$ auf. Nutze aus, dass gilt $P(X=Y=0)=1/4$.

vg Luis




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2020-07-14 10:06 - luis52 in Beitrag No. 10 schreibt:
2020-07-14 09:56 - shirox in Beitrag No. 9 schreibt:
Ah Okay!
$\rho(1)=P(Z=1)=P(X=1\cap Y=1)=P(X=1)*P(Y=1)$

Aber ich kann es ja einfach direkt wie oben berechnen. Oder ist der letzte Teil jetzt wieder Quatsch?

Vorsicht, wieso kannst du $P(X=1\cap Y=1)=P(X=1)\cdot P(Y=1)$ annehmen? Das koenntest du, waeren $X$ und $Y$ unabhaengig, was sie nicht sind. Vorschlag: Schreibe dir mal die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von $(X,Y)$ auf. Nutze aus, dass gilt $P(X=Y=0)=1/4$.

vg Luis
Sorry ,ich dachte meinen Beitrage bereits editiert, weil es mir dann aufgefallen ist!




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luis52
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2020-07-14 09:56 - shirox in Beitrag No. 9 schreibt:
 
Also brauche ich sowieso erst $\rho(0)=P(X=0 \cup Y=0)=P(X=0)+P(Y=0)-P(X=Y=0)=\frac{1}{2}$
Und somit ist $\rho(1)=\frac{1}{2}$

Korrekt, prima.

vg Luis



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Vielen Dank für dein Hilfe :)



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