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Universität/Hochschule Beweis Menge ist Kreis
kingstone555
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-13 18:41


Es seien zwei verschiedene Punkte P,Q ∈ R^2 gegeben. Sei λ >1. Zeigen Sie: Die Menge {X ∈ R^2| ||X − Q|| = λ|| X − P ||} ist ein Kreis. Was ist dessen Radius und dessen Mittelpunkt?
Anmerkung:Ein Kreis mit Radius r >0 und Mittelpunkt (m1,m2)^t ∈ R^2 hat die Gleichung (x−m1)^2+ (y−m2)^2 = r^2
Ich bräuchte unbedingt Hilfe diese Aufgabe formal korrekt zu lösen.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-13 18:58


1. Quadriere die Gleichung $\|X − Q\|=λ\,\|X − P\|$ und nutze aus, dass die euklidische Norm des $\mathbb R^2$ von einem Skalarprodukt abstammt, um die Quadrate auszumultiplizieren.

2. Bringe die Gleichung durch eine quadratische Ergänzung in die Form $\|X-M\|^2=r^2$.

--zippy



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kingstone555
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14 14:57


Danke erstmal für die Antwort. Ich habe Probleme bei Schritt 2. Bei mir sieht es jetzt so aus:
\((X^2 - 2XQ + Q^2 = \lambda(X^2 - 2XP + P^2) \)
Aber die quadratische Ergänzung macht mich ein wenig ratlos und die umstellung auf die Kreisgleichung gelingt mir nicht. Hast du noch spezifischere Tipps



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-14 15:12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das ist hier der gleiche Denkfehler wie im anderen Thread mit der Ellipse: du hast die Schreibweise nicht verstanden.

Die Obkjekte \(X\), \(P\) und \(Q\) sind aus \(\IR^2\), die "Betragsstriche" stehen für die euklidische Norm im \(\IR^2\).

Schreibe also das ganze am besten ersteinmal in Vektorschreibweise aus und mache dir dann klar, was hier beim Quadrieren überhaupt passiert.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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kingstone555
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14 15:31


Doch doch, das ist mir klar. Ich komme auch in Vektorschreibweise auf das gleiche Ergebnis.
\( (x1 - q1)^2 + (x2 - q2)^2 = \lambda ( (x1-p1)^2 + (x2-p2)^2)\)
Aber damit komm ich dann nicht weiter. Oder habe ich da doch noch etwas falsch verstanden?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-14 15:35


Hallo,

ok. Jetzt bringst du mal am besten alles auf eine Seite und multiplizierst aus. Man muss hier für beide Variablen jeweils eine quadratische Ergänzung durchführen, um die gewünschte Form zu erhalten.


Gruß, Diophant



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kingstone555
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14 15:53


Tut mir Leid, aber ich bekomme die quadratische Ergänzung einfach nicht hin.
Nur als Beispiel jetzt bei der x1-Koordinate bekomme ich:
\( x_1^2 - 2x_1q_1 -\lambda x_1^2 + \lambda x_1p_1 + q_1 ^2 - \lambda p_1 ^2 \)
Wie mache ich jetzt diese Ergänzung, bzw wie komme ich davon auf ein Ergebnis



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-14 16:04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

du musst das ja geeignet zusammenfassen, also hier etwa

\[x_1^2 - 2x_1q_1 -\lambda x_1^2 + \lambda x_1p_1 + q_1 ^2 - \lambda p_1 ^2=(1-\lambda)x_1^2+2(q_1-\lambda p_1)x_1+q_1^2-\lambda p_1^2\]
Und es ist sicherlich auch kein Fehler, die ganze Gleichung zu Beginn durch \((1-\lambda)\) dividieren (was man ja nach Voraussetzung bedenkenlos tun darf!).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-14 16:52

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Ich glaube nicht, dass das Rechnen mit Komponenten hier eine gut Idee ist. Wenn man bei der Vektorschreibweise der Aufgabe bleibt, sähe das Ganze so aus:$$\begin{align*}
&\mkern -10mu \|X − Q\|=\lambda\,\|X − P\|\quad\iff\\[2.2ex]
0&=\|X − Q\|^2-\lambda^2\,\|X − P\|^2=
  (1-\lambda^2)\,\|X\|^2
  - 2\,X\cdot(Q-\lambda^2\,P)
  +\|Q\|^2-\lambda^2\|P\|^2\\[1.5ex]
&=(1-\lambda^2)\,\left\|X-{Q-\lambda^2P\over1-\lambda^2}\right\|^2 +
  {-\lambda^2\,\|Q\|^2
   -\lambda^2\,\|P\|^2 + 2\,\lambda^2\,P\cdot Q\over1-\lambda^2}\\[1.5ex]
&=(1-\lambda^2)\,\left\|X-{Q-\lambda^2 P\over1-\lambda^2}\right\|^2
  - \frac{\lambda^2}{1-\lambda^2}\,\|P-Q\|^2
\end{align*}
$$Und das hat die Form einer Kreisgleichung $\|X-M\|^2=r^2$. Den Mittelpunkt $M$ und den Radius $r$ muss man nur noch ablesen.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-07-14 17:10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo zippy,

2020-07-14 16:52 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich glaube nicht, dass das Rechnen mit Komponenten hier eine gut Idee ist. Wenn man bei der Vektorschreibweise der Aufgabe bleibt...

Hm, prinzipiell hast du recht. Ich war mir unsicher, inwieweit dem Fragesteller klar ist, womit er es in Sachen Schreibweise hier zu tun hat.

Wir haben übrigens allesamt einen Fehler gemacht, indem wir beim Quadrieren das \(\lambda\) vergessen haben. So müsste es bei dir oben auch so anfangen:

\[0=\|X − Q\|^2-λ^2\,\|X − P\|^2\]
Was mir auch noch nicht klar ist: wie kommt bei dir der Summand \(\lambda\ P\cdot Q\) bzw. \(\lambda^2\ P\cdot Q\) in der dritten Zeile zustande? Fehlt da nicht der Faktor 2?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-07-14 17:47

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-07-14 17:10 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich war mir unsicher, inwieweit dem Fragesteller klar ist, womit er es in Sachen Schreibweise hier zu tun hat.

Das muss er halt lernen. Das kann er aber nur, wenn wir nicht gleich zu Komponenten übergehen.

2020-07-14 17:10 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
Wir haben übrigens allesamt einen Fehler gemacht, indem wir beim Quadrieren das \(\lambda\) vergessen haben.

Danke, das habe ich in Beitrag Nr. 8 korrigiert.

2020-07-14 17:10 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
Was mir auch noch nicht klar ist: wie kommt bei dir der Summand \(\lambda\ P\cdot Q\) bzw. \(\lambda^2\ P\cdot Q\) in der dritten Zeile zustande? Fehlt da nicht der Faktor 2?

Nein, wie kommst du darauf?
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-07-14 19:35

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo zippy,

2020-07-14 17:47 - zippy in Beitrag No. 10 schreibt:
2020-07-14 17:10 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
Was mir auch noch nicht klar ist: wie kommt bei dir der Summand \(\lambda\ P\cdot Q\) bzw. \(\lambda^2\ P\cdot Q\) in der dritten Zeile zustande? Fehlt da nicht der Faktor 2?

Nein, wie kommst du darauf?

Hm, ich habe es gerade nochmal nachgerechnet. In der ersten Norm ergänzt du doch mit dem Term \(\frac{(Q-\lambda^2\ P)^2}{(1-\lambda^2)^2}\) zum Quadrat. Das negative Gegenstück ziehst du dann aus der Norm heraus, dabei kürzt sich der Faktor \((1-\lambda)^2\) einmal mit dem Vorfaktor. Im Zähler ist das jetzt aber ein ganz normales Binom (die Multiplikation ist halt ein Skalarprodukt).

Wenn ich da jetzt alles zusammenrechne, was hinter der Norm zusammenkommt, dann komme ich auf

\[\dotsc+\frac{-\lambda^2\ \|Q\|^2-\lambda^2\ \|P\|^2+2\lambda^2\ P\cdot Q}{1-\lambda^2}\]
Und das führt ja dann auch zur gewünschten Faktorisierung zu \(-\frac{\lambda^2}{1-\lambda^2}\ \|P-Q\|\). Also am Ende stimmt es natürlich wieder.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Ah, jetzt verstehe ich, was du meinst, und du hast Recht: In dem Zwischenergebnis habe ich beim Abtippen eine 2 unterschlagen.



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