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Universität/Hochschule J Konvergenz Pareto-Verteilung
shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-14 18:23


Hey hier bin ich schon wieder :)

Ich bin über eine Aufgabe gestoßen die mir mal wieder ein paar Probleme bereitet:

Für $\alpha >0$ ist die Pareto$(\alpha)$-Verteilung definiert durch die Dichte $f:\mathbb{R} \to [0, \infty)$
$$f(x)=\alpha x^{-\alpha-1}1_{(1,\infty)}(x)$$ Bekomme die Doppelteins irgendiwe nicht hin mit LaTeX.
a) Es seien $X_1,X_2,...$ unabhäng. Zufallsvariablen, welche Pareot$(2)$-verteilt sind. Begründen Sie, warum
$$(X_1*...*X_n)^{\frac{1}{n}}$$ für $n$ gegen unendlich fast sicher konvergiert.

Hier habe ich leider gar keine Ahnung.
b) Sei nun $X_n$ ~ Pareto$(n)$. Zeigen Sie, dass
$$n(X_n-1)$$ in Verteilung konvergiert und bestimmen Sie die Grenzverteilung.
Also ich muss ja zeigen dass $F_n(t) \to F(t)$ für $n \to \infty$
Dann hätte ich
$$F_n(t)=P(n(X_n-1)\leq t)=\int_1^t n(nx^{-n-1}-1)(x)dx=(-nx^{-n}-nx)|^t_ 1=-nt^{-n}-nt+2n$$ Jetzt muss bei einer Verteilungsfunktion ja der linkere Rand ja $0$ sein das gilt hier ja auch für $t<1$ aufgrund der Pareteoverteilung, aber für den rechten Rand ja$1$ aber das Ergebnis des Integrals gilt ja schon für $t\in[1,\infty)$
Und mein zweites Problem ist ja dass das ganze für $n \to \infty$ gegen $\infty$ geht.

Vielleicht könnt ihr mit meinen Überlegungen ja was anfangen.



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-14 19:56


2020-07-14 18:23 - shirox im Themenstart schreibt:
 
Dann hätte ich
$$F_n(t)=P(n(X_n-1)\leq t)=\int_1^t n(nx^{-n-1}-1)(x)dx$$ Vielleicht könnt ihr mit meinen Überlegungen ja was anfangen.

Das letzte Gleichheitszeichen ist mir unklar ...

*Ich* rechne so: $P(n(X_n-1)\leq t)=P(X_n\le 1+t/n)$. Nun google mal die Verteilungsfunktion von $X_n$.

Zu a) habe ich noch keine Idee.

vg Luis





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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-14 20:10


Fuer a) siehe mal  hier.

vg Luis



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14 20:38


Danke, ich hab jetzt ein wenig weiter gerechnet:
$P(n(X_n-1)\leq t)=P(X_n\le 1+t/n)=\int_1^{1+\frac{n}{t}} nx^{-n-1}dx=
-(1+\frac{t}{n})^{-n}+1=-((1+\frac{t}{n})^{n})^{-1}+1=-e^{-t}+1$
Also insgesamt $Fn(t)=\begin{cases}
  1-\mathrm{e}^{-t}&, 1\leq t< \infty \\
  0                        &, t < 1
\end{cases}$
Also ist das gerade die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda=1$
bei der a) versuche ich noch zu verstehen was da passiert ist, also die Grundidee ist das starke Gesetz der großen Zahlen und brauche ich auch den Trick mit dem Logarithmus?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-14 20:55


2020-07-14 20:38 - shirox in Beitrag No. 3 schreibt:
Also ist das gerade die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda=1$

Fast. Die "normale" Exponentialverteilung beginnt bei 0, diese hier bei 1. Es handelt sich eine verschobene Exponentialverteilung.

2020-07-14 20:38 - shirox in Beitrag No. 3 schreibt:
bei der a) versuche ich noch zu verstehen was da passiert ist, also die Grundidee ist das starke Gesetz der großen Zahlen und brauche ich auch den Trick mit dem Logarithmus?

Ich denke ja. In der Diskussion dort wird fuer das arithmetische Mittel
argumentiert und dann auf das geometrische Mittel geschlossen. Ich habe mit nicht alle Einzelheiten ueberlegt, aber so koennte es auch bei a) laufen.

vg Luis
                           



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14 20:59


Ah, stimmt vielen Dank!

Falls ich was sinnvolles bei der a) habe werde ich es teilen :)



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-16 16:04


Okay, jetzt weiß ich es. Ist eigentlich auch ganz einfach.

Man betrachtet

$ln((X_1*...*X_n)^{\frac{1}{n}})=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n ln(X_k)$
Das ganze konvergiert fast sicher nach dem Starken Gesetz der großen Zahlen. Und da die e-Funktion stetig ist müsste das ganze nach dem continuous mapping theorem auch ohne $ln$ fast sicher konvergieren.



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