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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Inhomogenes lineares Gleichungssystem
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Universität/Hochschule Inhomogenes lineares Gleichungssystem
llt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-14


Hallo an alle!

Ich muss folgenden Satz beweisen:

Sei \(A\) eine m × n-Matrix über einem Körper \(K\). Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a) die Gleichung \(Ax = b\) besitzt für jedes \(b\in K^m\) mindestens eine Lösung \(x \in K^n\);
(b) \(rg(A) = m\).


Leider weiß ich nicht, wie ich hier vorgehen soll...
Ich freue mich über jede Hilfe!

LG llt



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llt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14


Ok ich glaube ich habe einen Lösungsweg gefunden:

die Gleichung \(Ax=b\) besitzt für jedes \(b\in K^m\) mindestens eine Lösung \(x \in K^n\)
\(\Leftrightarrow\) die Abbildung \(L_A :K^n \rightarrow K^m, x \mapsto Ax\) ist surjektiv
\(\Leftrightarrow\) das Bild \(Im(L_A)=K^m\)
\(\Leftrightarrow rg(A) = m = dim(K^m)\)

Ist dieser Beweis richtig?



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